Suites arithmético-géométriques   [répertoire]

• Définition par récurrence ; u_n+1 = f(u_n) : u_n+1 = q u_n + r
  • Si la suite converge ( −1 < q < 1 ) elle convergera vers la limite L telle que : L = q L + r
    L = r / ( 1 − q ) ( la seule limite possible )
  • Démontrons que la suite v_n = u_n − L est une suite géométrique :
    • démonstration 1 : quand nous n'avons pas calculé L, mais qu'il nous est donné : v_n = u_n − L
      Calcul de v_n+1 = q v_n   Schéma de calcul :

      vn+1	→	un+1
      		↓
      vn	←	un

      • remarque : u_n = v_n + L     (qui nous servira à passer de u_n à v_n)
      • (définition de v_n) v_n+1 = u_n+1 − L
      • (définition de u_n) v_n+1 = q u_n + r − L
      • (définition de v_n) or : u_n = v_n + L
        v_n+1 = q (v_n + L) + r − L
        v_n+1 = q v_n + q L + r − L
        si L est bien r/(1−q), on trouve que : q L + r − L = 0     (sinon la suite (v_n) n'est pas géométrique)
        v_n+1 = q v_n
    • démonstration 2 : en combinant les 2 relations suivantes :

      	un+1	=	q	un	+ r
      	L	=	q	L	+ r
      Par soustraction :	( un+1 − L )	=	q	( un − L )	+ 0
      Soit :	vn+1	=	q	vn

    remarque : la raison de la suite géométrique est q, le coefficient de u_n dans la suite arithmético-géométrique
  • Donc : v_n = qⁿ v₀
    terme initial : v₀ = u₀ − L = u₀ − r / ( 1 − q )
    v_n = [u₀ − r / ( 1 − q )] qⁿ = [u₀ − L] qⁿ
• Définition explicite : u_n = F(n)
  • on remplace v_n par sa valeur dans la formule : u_n = v_n + L = v_n + r / ( 1 − q )
    u_n = [u₀ − r / ( 1 − q )] qⁿ + r / ( 1 − q )
  • avec : L = r / ( 1 − q )
    u_n = v_n + L
    u_n = qⁿ v₀ + L
    u_n = qⁿ ( u₀ − L ) + L
• Remboursement d'emprunt : capital restant dû : C_n+1 = (1+τ) C_n − M
  • Soit C_n le capital restant dû à la fin du mois n
    et τ le taux d'intérêt mensuel
    chaque mois s'ajoutent les intérêts sur le capital restant dû : (1+τ) C_n
    q = 1 + τ
    chaque mois sont retirées les mensualités M payées : r = − M
    d'où : C_n+1 = (1+τ) C_n − M
  • avec C₀ = le capital emprunté
  • limite L = (1+τ) L − M   ⇒   L = M / τ
    remarque : si le capital initial C₀ = L ; il restera constant car on ne rembourse que les intérêts (M = L τ = C₀ τ)
  • A la fin du mois N, le capital restant doit être nul : C_N = 0   (fin du remboursement)
    • Calcul de la mensualité connaissant (C₀, N, τ) :
      Relation : C_N = 0 = (1+τ)^N C₀ − ( (1+τ)^N − 1 ) M / τ
          mensualités M = τ (1+τ)^N C₀ / [ (1+τ)^N − 1 ]
    • Calcul de la durée connaissant (C₀, M, τ) :
      Relation : C_N = 0 = (1 + τ)^N (C₀ − M / τ) + M / τ
          (1 + τ)^N (τ C₀ − M) = −M
          N log(1 + τ) + log(M − τ C₀) = log(M)
          durée N = [log(M) − log(M − τ C₀)] / log(1 + τ)
  • Remarque : la suite (C_n) est divergente, décroissante mais on l'arrête dès que C_N = 0
  • calcul d'un emprunt ( programme en javascript : le source est visible )

---

retour au menu :   suites   suites (généralités)   suites arithmétiques  
suites géométriques   récapitulatif et exercices   suites et séries