Suites arithmétiques   [répertoire]

• Définition par récurrence : u_n+1 = f(u_n)
  • 1) premier terme de la suite : par exemple u₀
  • 2) formule de récurrence : u_n+1 = u_n + r pour n ≥ 0
  • d'où : u₁ = u₀ + r
  • d'où : u₂ = u₁ + r = u₀ + 2 r
  • . . . . . . . . . .
  • d'où : u_n = u₀ + n r   (formule explicite)
    
• Définition explicite : u_n = f(n)
  • u_n = u₀ + n r
  • u_n = u_p + (n − p) r (si le premier terme n'est pas u₀ mais u_p)
    Comment le retrouver ? en calculant u_n − u_p

    un	=	u0	+	n	r
    up	=	u0	+	p	r
    un − up	=			(n − p)	r

    u_n = u_p + (n − p) r
    r = Δu / Δn = (u_n − u_p) / (n − p)   coef. dir. de la droite
• Représentation graphique :
  • droite de coefficient directeur (ou pente) r et d'ordonnée à l'origine u₀
  • si r > 0 : la suite est croissante : u_n+1 = u_n + r > u_n
  • si r = 0 : la suite est constante : u_n+1 = u_n
  • si r < 0 : la suite est décroissante : u_n+1 = u_n + r < u_n
• Reconnaître qu'une suite est arithmétique :
  • r = u_n+1 − u_n est constant
• Somme d'une suite arithmétique :
  • S = u₁ + u₂ + ... + u_n−1 + u_n   (début=u₁, raison=r)
  • en écrivant la suite à l'envers :
    S = u_n + u_n−1 + ... + u₂ + u₁   (début=u_n, raison=−r)
  • et en additionnant ces 2 suites égales :
    (u₁ + u_n) = (u₂ + u_n−1) = . . . . = (u_n + u₁)
    2 S = ( u₁ + u_n ) × n
  • S = n × ( u₁ + u_n ) / 2
    où ( u₁ + u_n ) / 2 est la valeur moyenne d'un terme de la suite
    et n est le nombre de termes de la suite.
  • En résumé : S = "nombre de termes" × ("premier terme" + "dernier terme") / 2
  • Illustration graphique de la somme de suite arithmétique (u₁=1, r=1) :
    n=5 : 2 S_n = n (n+1)

    ×	1	n
    n

retour au menu :   suites arithmétiques test     suites   math   accueil  
file:///home/jacques/Dropbox/