Suites Numériques   [répertoire]

• Différence entre une fonction et une suite :

  une fonction f :	x → f(x)	avec x appartient aux réels	et f(x) appartient aux réels
  une suite u :	n → u(n)	avec n appartient aux entiers naturels	et u(n) appartient aux réels

  remarque on note u(n) : u_n
• Une suite peut être définie :
  explicitement : Exemple : u(n) = 2 n + 5
    comme on définit la fonction f(x) = 2 x + 5
  par récurrence (à partir d'une valeur précédente) :
  Exemple : on donne u(0)=5 , puis la relation de récurrence : u(n+1) = u(n) + 2 pour n ≥ 0
  • u(0) = 5
  • la relation de récurrence avec n = 0 devient u(1) = u(0) + 2 d'où u(1) = 5 + 2 = 7
  • la relation de récurrence avec n = 1 devient u(2) = u(1) + 2 d'où u(2) = 7 + 2 = 9
  • la relation de récurrence avec n = 2 devient u(3) = u(2) + 2 d'où u(3) = 9 + 2 = 11
  • . . . . . .
• Notations, vocabulaire :
  • u(n) = u_n
    n = rang
    n+1 = suivant de n
    n = précédent de n+1
  • définition explicite : u_n = f(n)
  • définition par récurrence : u_n+1 = f(u_n)
      avec u₀ donné (= premier terme)
      u_n est maintenant défini pour n ≥ 0
  • Hérédité : propriété P(n) vraie (au rang n)   ⇒   propriété P(n+1) vraie (au rang n+1)
    exemple : u_n+1 > u_n   ⇒   u_n+2 > u_n+1
    si u₁ > u₀, alors la suite est ↗ à partir du rang n=0
    ici : P(n) = "u_n+1 > u_n"
  • suite arithmétique : u_n+1 = u_n + r   ;   u_n = u₀ + n r (avec r = raison) ;
    suite géométrique : u_n+1 = q u_n   ;   u_n = u₀ × qⁿ (avec q = raison) ;
• Démontrer qu'une suite est croissante (méthode directe)
  Il faut démontrer : u_n < u_n+1 alors la suite est croissante.
  Soit : u_n+1 − u_n > 0
  Rappel : pour étudier le signe d'une expression, il faut la factoriser.
  Connaissant le signe de chaque facteur, on en déduit le signe du produit ou du quotient.
  Exemples de factorisations :
  • sens de variation de la suite u_n = 100×0,2ⁿ ?
    Remarque : à chaque fois que l'on incrémente n (incrémenter = augmenter de 1) u_n est multipliée par 0,2 ( < 1 ) : elle diminue donc.
    

    Démonstration :	un+1 − un	= 100×0,2n+1 − 100×0,2n
    		= 100×0,2n×0,2 − 100×0,2n×1
    		= 100×0,2n×(0,2 − 1)
    		= −0,8×100×0,2n
    		= −80×0,2n < 0

    u_n+1 − u_n < 0 équivaut à : u_n+1 < u_n : La suite u_n = 100×0,2ⁿ est décroissante.
    REMARQUE : quand on factorise, vérifier que le développement de la formule obtenue redonne l'expression de départ.
    (tout le monde fait des erreurs, mais grâce à la vérification systématique, on retrouve les erreurs)
  • sens de variation de la suite u_n = 1 / (2n+5) ?
    Remarque : quand n augmente, on divise par un nombre plus grand : u_n diminue donc.
    

    Démonstration :	un+1 − un	= 1 / (2(n+1)+5) − 1 / (2n+5)
    		= [(2n+5) − (2(n+1)+5)] / [(2(n+1)+5)×(2n+5)]
    		= [2n + 5 −2n −2 −5] / [(2n+2+5)×(2n+5)]
    		= [−2] / [(2n+7)×(2n+5)] < 0

    u_n+1 < u_n : La suite u_n = 1 / (2n+5) est décroissante.
    ATTENTION : quand on remplace n par (n+1) ne pas oublier de l'entourer de parenthèses !
• Démontrer qu'une suite est croissante (par récurrence)
  Pour les suites définies par récurrence : u_n+1 = f(u_n)
  • Hérédité dans le cas où la fonction f(x) est strictement croissante :
    a < b ⇔ f(a) < f(b)
    appliqué aux points u_n et u_n+1 de la suite :
    u_n+1 < u_n ⇒ f(u_n+1) < f(u_n) ⇒ u_n+2 < u_n+1
  • Hérédité dans le cas où la fonction f(x) est de la forme : f(x) = a u_n + b n + c :
    si l'on peut factoriser (u_n+1 − u_n) dans (f(u_n+1) − f(u_n))
    on établit une récurrence sur la différence (u_n+1 − u_n) à partir de la définition de (u_n) :

    un+2	=	a un+1	+ b (n+1)	+ c		| × 1
    un+1	=	a un	+ b n	+ c		| × −1
    (un+2 − un+1)	=	a (un+1 − un)	+ b

    • Si a > 0 et b > 0, alors : u_n+1 − u_n > 0 ⇒ u_n+2 − u_n+1 > b > 0
    • Si a > 0 et b < 0, alors : u_n+1 − u_n < 0 ⇒ u_n+2 − u_n+1 < b < 0
  • autre exemple d'hérédité : u_n+1 = a (u_n)² + b u_n + c n + d
    u_n+2 = a (u_n+1)² + b u_n+1 + c (n+1) + d
    par différence :
    u_n+2 − u_n+1 = a [(u_n+1)² − (u_n)²] + b (u_n+1 − u_n) + c
    u_n+2 − u_n+1 = (u_n+1 − u_n) [a (u_n+1 + u_n) + b] + c
    si tous les coefficients a, b, c, d > 0 et u₀ > 0, alors tous les u_n > 0 et  
    u_n+1 − u_n > 0 ⇒ u_n+2 − u_n+1 > c > 0

retour au menu :   suites   suites (généralités)   suites arithmétiques  
suites géométriques   récapitulatif et exercices   suites et séries