Statistiques   [répertoire]

• Statistiques (exemple des notes des élèves à un contrôle commun)
• Fiche de probabilités (proba conditionnelle, indépendance)
• Variable aléatoire réelle (répartition, moyenne, variance, Bernoulli)
• Loi binomiale B(n,p), Loi Normale N(μ,σ)
  • population(N, B(p)) avec une loi de Bernoulli que l'on connaît :
    variation d'un échantillon aléatoire (n) : il suit la loi binomiale B(n,p)
    P(X=k) = (k parmi n) p^k (1−p)^n−k
    X prend des valeurs dans [[ 0, n ]] ; E(X) = np ; V(X) = np(1−p)
    la fréquence f observée dans l'échantillon = X / n ; E(X) = p ; V(X) = p(1−p)/n = σ²
    Si n est suffisamment grand on peut assimiler la loi de la moyenne de l'échantillon à une loi normale
    conditions : n > 30 ou 50 ; np et n(1−p) > 5
    Loi Normale de moyenne μ = p et d'écart-type σ = √p(1−p)/n :
    f(échantillon) ∈ [p − 1,96 √p(1−p)/n ; p + 1,96 √p(1−p)/n] avec une probabilité de 0,95
    ou f(échantillon) ∈ [p − 1,96 σ ; p + 1,96 σ] avec une probabilité de 0,95
    donc, du fait de la symétrie de la loi Normale :
      f(échantillon) < p − 1,96 σ = 0.025
      f(échantillon) > p + 1,96 σ = 0.025
    variable centrée réduite : Z = (f(échantillon) − p) / √p(1−p)/n = (f(échantillon) − p) / σ
    P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95
    P(|Z| ≥ 1.96) = 0.05 (du fait des fluctuations naturelles d'un tirage aléatoire)
  • Intervalle de fluctuation : (population → échantillon)
    Test de l'hypothèse H0 : la moyenne de la population est p.
    à partir d'une population connue, on calcule l'intervalle de fluctuation de la moyenne d'un échantillon.
    on veut vérifier/contrôler l'information p de la loi B(p) :
    si l'échantillon tombe dans l'intervalle de fluctuation à 95%, p est acceptable (non rejeté).
    si l'échantillon tombe en dehors de l'intervalle de fluctuation à 95%, p est à rejeter.
      car alors, l'hypothèse H0 est fausse (avec une probabilité de 95%)
      soit un risque de rejet à tort de 5%
  • Intervalle de confiance : (échantillon → population)
    mesure de p inconnu : soit f la proportion dans l'échantillon
    p(population) ∈ [f − √1/n ; f + √1/n] avec une confiance de 0,95
    on réutilise la formule de la variation avec, pour estimer σ :
      p = 1/2 qui est le cas le plus défavorable et en arrondissant 1,96 à 2.
• Échantillon(n) connaissant la population.
• Fiche Statistiques (moyenne, variance, corrélation, droites de régressions)

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