Loi Normale   (répertoire)

• Loi Normale Centrée Réduite N(μ=0, σ=1)
  dont on trouve facilement une table sur internet
  • La table donne la probabilité : P(X ≤ X_a) = a   (fonction de répartition)
    on peut prendre ≤ ou <, cela n'a aucune importance car P(X = X_a) = 0
    X_a se lit dans la colonne de gauche avec la première décimale,
      à laquelle il faut ajouter la deuxième décimale de la première ligne du tableau.
    à l'intersection de la ligne et de la colonne, on trouve la probabilité "a"
  • exemple : P(X < 1.96) : ligne 1.9 ; colonne 0.06 ; intersection : 0.9750
    résultat : P(X < 1.96) = 0.9750
  • Loi symétrique par rapport à l'origine : P(X < −a) = P(X > a)
• Loi Normale N(μ, σ) dépend de 2 paramètres : la moyenne μ et l'écart-type σ
  
  • pour connaître P(X < a), on va lire la valeur dans la table N(0, 1) (Loi Normale Centrée Réduite)
    Il faut convertir la loi N(μ, σ) en N(0, 1)
    centrage autour de μ : Z = (X − μ)   suit N(0, σ)
    réduction de σ : Z = (X − μ) / σ   suit N(0, 1)
  • exemple : taille N(180, 15) si X = 160 → Z = (160 − 180) / 15 ≈ −1.33
    lecture dans la table P(Z < −1.33) :
    Mais il n'y a pas de nombres négatifs dans la table !
    symétrie : P(X < −a) = P(X > a) = 1 − P(X ≤ a)
    on lit : P(X ≤ 1.33) = 0.9082
    on en déduit : P(X < −1.33) = 1−0.9082 = 0.0918
• intervalle bilatéral :
  P(|Z| ≤ Z_a) = P(−Z_a ≤ Z ≤ Z_a) = P(Z ≤ Z_a) − P(Z ≤ −Z_a)
  P(|Z| ≤ Z_a) = P(Z ≤ Z_a) − [ 1 − P(Z ≤ Z_a) ] = 2 P(Z ≤ Z_a) − 1
  exemple : P(Z < 1.96) = 0.9750   ⇒   P(|Z| < 1.96) = 2 × 0.9750 − 1 = 0.9500
  Formules très utilisées : P(|Z| < 1.96) = 0.95
  retour à la variable X de loi N(μ, σ) : P(|X − μ| < 1.96 σ) = 0.95
• La somme de plusieurs lois normales est une loi normale :
  La somme de n₁ individus de loi N(μ₁, σ₁) suivent la loi N(n₁ μ₁ ; √n₁ σ₁)
  La somme de n₁ individus de loi N(μ₁, σ₁) + n₂ individus de loi N(μ₂, σ₂)
    suivent la loi N(n₁ μ₁ + n₂ μ₂ ; √n₁ σ₁² + n₂ σ₂²)

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