Fiche Probabilités   [répertoire]

• Proba(évènement) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
  (par rapport à l'univers entier donné Ω qui est l'ensemble des cas possibles)   (Si tous les cas sont équi-probables)
• P(A) + P(A) = 1   ⇒   P(A) = 1 − P(A)
  Le tirage donne toujours : soit A, soit A ( le contraire de A ).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)   (∩ = intersection des ensembles A et B = éléments communs)
  Quand on additionne P(A) et P(B), on compte 2 fois P(A ∩ B), c'est pourquoi on doit le retirer 1 fois.
• probabilités conditionnelles : P(A / B) = P_B(A) = proba(A) sachant B     (ou P(A) parmi les B).
  B est réalisé : maintenant l'ensemble des cas possibles est B (et non plus l'univers Ω)
  et les cas favorables sont (A ∩ B).
  proba(A) sachant B = P(A / B) = P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)
  La formule précédente devient : P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(B) × P(A / B)
    qui sert à calculer les probabilités des arbres : A ∩ B = branche B (P(B)) suivie de la branche A (P_B(A))
• Probabilité totale : P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
  On additionne toutes les probabilités élémentaires contenant B.
• Arbres de Probabilités conditionnelles

  1	→ P(A) →	A	→ PA(B) →	B	P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
  			→ PA(B) →	B	P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
  	→ P(A) →	A	→ PA(B) →	B	P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
  			→ PA(B) →	B	P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)

  • P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
      on commence par sélectionner les A : P(A)
      puis on sélectionne les B parmi les A : P_A(B)
  • Probabilité totale de B : P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
  • Probabilité conditionnelle de A sachant B : P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)
      (probabilité des A parmi les B)
  • On peut faire un autre arbre en commençant par P(B) et P(B)   (au lieu de A et A)     puis P_B(A) . . .
• exercice général : 3 inconnues x, y, z   ⇒   3 équations nécessaires

  1	→ x →	A	→ y →	B	P(A ∩ B) = x y = a	éq 1
  			→ (1−y) →	B	P(A ∩ B) = x (1−y) = b	éq 2
  	→ (1−x) →	A	→ z →	B	P(A ∩ B) = (1−x) z
  			→ (1−z) →	B	P(A ∩ B) = (1−x) (1−z) = c	éq 3

  résolution :
  • combinaison : éq 1 + éq 2 : x = a+b
  • substitution éq 1 : x y = a   ⇒   y = a/x
      donc y = a/(a+b)
  • éq 3 : 1−z = c / (1−x)   ⇒   z = 1 − c / (1−x)
    z = 1 − c / (1−a−b) = (1−a−b−c) / (1−a−b)
  • Remarque : la somme des proba = 1 ; donc : (1−x) z = 1 − a − b − c
• tableau des cas possibles (probabilités élémentaires) :

  	A	A
  B	P(A ∩ B)	P(A ∩ B)	P(B)
  B	P(A ∩ B)	P(A ∩ B)	P(B)
  	P(A)	P(A)	1

  Comme ces probabilités sont disjointes (intersections nulles), on peut les additionner :
  P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)   (proba. totale)
• Evènements indépendants :
  les évènements A et B sont indépendants si la probabilité de A ne dépend pas de B (et réciproquement)
  P_B(A) = P_B(A) = P(A)
  Les probabilités de A sont identiques que l'on soit dans B ou B ou dans l'ensemble complet Ω
  On a alors : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) au lieu de P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

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