Remboursement d'un emprunt

• Remboursement d'un emprunt à taux constant, à remboursements mensuels constants M
  • Emprunt d'un capital C₀ à rembourser en n mensualités M au taux mensuel τ
  • capital restant dû après remboursement de la mensualité M
  • C₁ = C₀ ( 1 + τ ) − M
  • C₂ = C₁ ( 1 + τ ) − M
  • ............
  • C_n−1 = C_n−2 ( 1 + τ ) − M
  • C_n = C_n−1 ( 1 + τ ) − M
  • avec C_n = 0
  • Pour le remboursement du mois n :
    • la part d'intérêts versée est : C_n τ
    • la part de capital remboursée est : A_n = M − C_n τ
  • C_n = C_n−1 ( 1 + τ ) − M   est une suite arithmético-géométrique
• Méthode 1 : On crée une suite auxiliaire : (v_n) qui sera géométrique :
  • point fixe (limite L possible) de la suite arithmético-géométrique : L = L ( 1 + τ ) − M
    L ( 1 + τ ) = L + M
    L τ = M
    L = M / τ

    Cn	=	Cn−1	( 1 + τ )	−	M
    L	=	L	( 1 + τ )	−	M
    (Cn − L)	=	(Cn−1 − L)	( 1 + τ )	−	0
    vn	=	vn−1	( 1 + τ )

  • v_n = C_n − L   est géométrique de raison ( 1 + τ )
    donc : C_n = v_n + L
    v_n+1 = C_n+1 − L
    v_n+1 = C_n ( 1 + τ ) − M − L
    v_n+1 = (v_n + L) ( 1 + τ ) − M − L = v_n ( 1 + τ ) + L ( 1 + τ ) − (M + L) = v_n ( 1 + τ )
    remarque : τ v_n = τ C_n − M = − A_n   (avec A_n le capital remboursé le mois n).
  • (v_n) étant géométrique : v_n = v₀ ( 1 + τ )ⁿ
    v₀ = C₀ − L = C₀ − (M / τ)
    v_n = (C₀ − (M / τ)) ( 1 + τ )ⁿ
  • C_n = v_n + L = v_n + (M / τ)
    C_n = (C₀ − (M / τ)) ( 1 + τ )ⁿ + (M / τ)
• Méthode 2 :
  • on multiplie chaque ligne et on additionne : les C_i intermédiaires s'éliminent.

    C1	=	C0 ( 1 + τ ) − M		| × ( 1 + τ )n−1
    C2	=	C1 ( 1 + τ ) − M		| × ( 1 + τ )n−2
    ...	=	...		...
    Cn−1	=	Cn−2 ( 1 + τ ) − M		| × ( 1 + τ )1
    Cn	=	Cn−1 ( 1 + τ ) − M		| × 1

  • somme : simplification des C₁, C₂, . . . , C_n−1
    • C_n = C₀ ( 1 + τ )ⁿ − M [ 1 + (1 + τ) + ... + (1 + τ)ⁿ⁻¹ ]
    • or : 1 + (1 + τ) + ... + (1 + τ)ⁿ⁻¹ = [ (1 + τ)ⁿ − 1 ] / [ (1 + τ) − 1 ] = [ (1 + τ)ⁿ − 1 ] / τ
    • d'où : C_n = C₀ ( 1 + τ )ⁿ − M [ (1 + τ)ⁿ − 1 ] / τ = (C₀ − M / τ) ( 1 + τ )ⁿ + M / τ
• or C_n = 0     (condition de fin de remboursement à la fin du mois n)
  • d'où : C₀ ( 1 + τ )ⁿ = M [ (1 + τ)ⁿ − 1 ] / τ
  • soient les mensualités : M = C₀ τ / [ 1 − 1 / (1 + τ)ⁿ ]
• Cas particuliers :
  • remboursement en un temps infini : n → ∞ : M = C₀ τ (≈loyer : le capital sera toujours dû)
  • taux nul : τ → 0 : C₀ = M [ (1 + n τ) − 1 ] / τ = n M
• calcul d'un emprunt ( programme en javascript : le source est visible )
• voir également : viager

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