Sujet : résoudre l'inéquation f(x) > 0 dans ℝ avec :
exemple : f(x) = (1/3) x³ − (7/2) x² + 12 x − 10
une fonction associe un ensemble de départ A à un ensemble d'arrivée B :
Antécédent x ∈ A → Image f(x) ∈ B
Appliquée à A : f(A) = I ⊂ B   où I est l'ensemble des images.

1. Quel est le domaine de définition de f(x) ?
   retrait des points ou des intervalles interdits : division(par zéro), racine(nombre < 0), log(nombre ≤ 0)
   ici aucun point interdit : réponse
2. Quels sont les points à l'infini ? x → ± ∞ ?
   mettre en facteur le terme de plus haut degré ; puis faire le produit des 2 limites
   f(x) = x³ [ (1/3) − (7/2) / x + 12 / x² − 10 / x³ ]
   limite de f(x) = limite(x³) × [ (1/3) − 0 + 0 − 0 ]
   réponse
3. Variation de la fonction :
   • Quelle est la dérivée de f(x) ? réponse
     dérivée de xⁿ : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
   • nombre d'extrema et les points correspondant (abscisse et ordonnée) ? réponse
     (pour lesquels la dérivée est nulle).
   • tableau de signe de la dérivée ? réponse
   • tableau de variation de f(x) ? on portera également le point d'abscisse 0. réponse
     le tableau de variation doit être cohérent avec les limites trouvées pour x → ±∞
4. D'après le tableau de variation : nombre de solutions à f(x) = 0 ? réponse
   pour un polynôme de degré N ≥ 1, il y a au maximum N solutions à l'équation f(x) = 0
   si N est pair (N=2k), il y a un nombre pair de solutions : { 2, 4, . . ., N }
   si N est impair (N=2k+1), il y a un nombre impair de solutions : { 1, 3, . . ., N }
5. calculer f(0), en déduire un premier encadrement de la racine ? réponse
   on applique le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) :
   pour une fonction f continue, (ce qui est le cas d'un polynôme)
   soit I = [a ; b] : si 0 ∈ f(I) ; alors, ∃ c ∈ I tel que f(c) = 0
   → faire un dessin pour s'en convaincre.
6. avec la calculatrice encadrer la racine : x₁ < r < x₂ avec x₂ − x₁ = 10^-3 ? réponse
   en traçant la courbe et en zoomant sur l'intersection.
7. on prendra la borne supérieure de l'encadrement comme valeur de la racine.
   Donner la solution de l'inéquation f(x) > 0 ? réponse
   on utilise le tableau de variation.
8. Tracé de la courbe avec DrawLigne avec : y(x) = pow(x, 3) / 3 - 7 * pow(x, 2) / 2 + 12 * x - 10
   vérifier la racine en réglant la fenêtre graphique à xmin=valeur trouvée, xmax=valeur trouvée, ymin=-1.e-3, ymax=1.e-3
   attention : mettre des points décimaux (langage en anglais)
9. Calcul de valeurs particulières avec calculette

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