Asymptotes verticales : y → ∞ Il faut regarder si y devient infini pour les valeurs de x interdites
(celles qui annulent les dénominateurs)
f(x) = u(x) / v(x) : asymptote pour v(x) = 0 et u(x) ≠ 0 exemple : f(x) = 1/x : asymptote verticale pour x=0 (1/0 = ∞)
si v(x) = 0 et u(x) = 0 : c'est une forme indéterminée 0/0 à étudier
exemple : f(x) = ln(x) / (x−1) : forme indéterminée 0/0 en x=1 : ln(1)=0 et (1−1)=0
limite de f(x) quand x → 1 est équivalent à limite de f(1+h) quand h → 0
développements limités : u(a+h) = u(a) + h u'(a) − h²/2 u''(a) + . . .
limite de f(1+h) = ( ln(1) + h (1/1) ) / (1 + h − 1) = h/h = 1 : y ne tend pas vers l'infini en x=1
(voir règle de l'Hôpital)
la fonction f(x) peut être prolongée par continuité : f(1) = 1
Asymptotes horizontales et obliques : x → ∞
Si f(x) → a (constante) : nous avons une asymptote horizontale y = a
Si f(x) → ∞ : Asymptote possible y = a x + b, avec :
a = lim f(x) / x quand x → ∞
si ∃ a ∈ ℝ : f a une direction asymptotique de coefficient directeur a
si f(x) / x n'a pas de limite ou devient infini : f n'a pas d'asymptote.
b = lim f(x) − a x quand x → ∞
si ∃ b ∈ ℝ : f a une asymptote oblique y = a x + b
si f(x) − a x tend vers l'infini : f a seulement une direction asymptotique
Rechercher les asymptotes des fontions suivantes : correction (pdf)
pour les indications et les réponses, passez la souris sans cliquer.