Asymptotes d'une fonction y=f(x) : Les asymptotes : Ce sont les droites qui donnent les directions des points à l'infini.
(ce sont les tangentes à la courbe à l'infini)
On peut trouver 3 sortes d'asymptotes :
en y : si f(x) → ±∞ quand x → a
⇒ asymptote verticale (x = a) remarque : f(a) n'est pas défini et a est une valeur interdite
exemple : f(x) = 1/x a une asymptote verticale x=0
en x : si : f(x) − a → 0 quand x → ±∞
⇒ asymptote horizontale (y = a) exemple : f(x) = 1/x a une asymptote horizontale y=0 en ±∞
en x et y : si f(x) − (a x + b) → 0 quand x → ±∞
⇒ asymptote oblique (y = ax+b) pour trouver a : a = limite de f(x) / x quand x → ±∞
pour trouver b : b = limite de f(x) − a x
exemple : f(x) = a x + b + 1/x possède une asymptote oblique y = a x + b en ±∞
Remarque : la plupart des fonction n'ont pas d'asymptotes : par exemple y = x2 Les asymptotes en −∞ et en +∞ peuvent être différentes :
exemple : ex possède uniquement l'asymptote y=0 en −∞
3 exemples d'asymptotes :
asymptote horizontale y = 1 :
f(x) =
x + 1 x
= 1 +
1 x
quand x → +∞ : f(x) → 1
asymptote verticale x = 2 :
f(x) =
x x−2
quand x → 2 : f(x) → 2/0 = ±∞ (limite de f(x) = ∞)
asymptote oblique y = 2x + 3 :
f(x) =
2 x2 + 3 x + 4 x
= 2 x + 3 +
4 x
quand x → +∞ : f(x) → +∞, mais f(x) − (2x + 3) → 0