Cercle trigo [répertoire]

• cercle trigonométrique : faire un dessin
  

  θ (deg)	0°	30°	45°	60°	90°
  θ (rad)	0	π/6	π/4	π/3	π/2
  cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
  cos2	4/4	3/4	2/4	1/4	0/4
  sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
  sin2	0/4	1/4	2/4	3/4	4/4

• propriétés : (à suivre sur le cercle trigo)

  angle	cos	sin
  −x	cos x	− sin x	symétrie % Ox
  π/2 − x	sin x	cos x	symétrie % 1ère bissectrice (y=x)
  π − x	− cos x	sin x	symétrie % Oy
  x + π/2	− sin x	cos x
  x − π/2	sin x	− cos x
  x ± π	− cos x	− sin x	symétrie % O

  questionnaire
• complexes : z = e^iθ = cos θ + i sin θ
  • pour ω = e^2iπ/n : démontrons que : |ω^k − 1| = 2 |sin(k π/n)|
    ω^k − 1 = e^{2 k i π / n} − 1 = cos(2 k π / n) − 1 + i sin(2 k π / n)
    S(k) = |ω^k − 1|² = [cos(2 k π / n) − 1]² + sin²(2 k π / n)
    S(k) = cos²(2 k π / n) − 2 cos(2 k π / n) + 1 + sin²(2 k π / n)
    S(k) = − 2 cos(2 k π / n) + 2 = 2 [ − cos(2 k π / n) + 1 ]
    on applique : 1 − cos(2a) = 2 sin²a   (= cos²a + sin²a − cos²a + sin²a)
    S(k) = 2 [ 2 sin²(k π / n) ] = 4 sin²(k π / n)
    |ω^k − 1| = 2 |sin(k π / n)|
    évident géométriquement : (faire un dessin)
    • soit ω = e^i2a : il forme un triangle isocèle de sommet (z=0) et de base (z=ω)-(z=1)
    • Angle au sommet = 2a
    • la base = 2 × (distance de z=1 au pied de la hauteur issue de z=0)
    • hypothénuse (z=0)-(z=1) de longueur 1
    • |ω − 1| = 2 |sin a|
    généralisation : |e^ia − e^ib| = 2 |sin[(a−b)/2]|

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