Calcul d'un viager

• Viager à remboursements constants :
  Une personne nous donne un capital C₀ que l'on rembourse jusqu'à son décès par des mensualités constantes M.
  En moyenne, l'opération doit être équitable : on rembourse exactement le capital C₀
  Donnée externe : probabilité de survie au mois n : p_n, sachant que la personne est en vie au début du viager.
  taux de valorisation du capital : τ (par exemple : taux d'inflation)
  • fin du premier mois : capital restant dû : C₁ = C₀ ( 1 + τ ) − p₁ M
  • C₂ = C₁ ( 1 + τ ) − p₂ M
  • .........
  • C_n−1 = C_n−2 ( 1 + τ ) − p_n−1 M
  • C_n = C_n−1 ( 1 + τ ) − p_n M
  • avec la probabilité de survie = 0 à partir de p_n
• Comme pour le remboursement d'emprunt, on multiplie la ligne " C_k = ... " par ( 1 + τ )^n−k

  C1	=	C0 ( 1 + τ ) − p1 M		| × ( 1 + τ )n−1
  C2	=	C1 ( 1 + τ ) − p2 M		| × ( 1 + τ )n−2
  ...	=	...		...
  Cn−1	=	Cn−2 ( 1 + τ ) − pn−1 M		| × ( 1 + τ )1
  Cn	=	Cn−1 ( 1 + τ ) − pn M		| × 1

• somme :
  • C_n = C₀ ( 1 + τ )ⁿ − M [ p_n + p_n−1 (1 + τ) + ... + p₁ (1 + τ)ⁿ⁻¹ ]
  • or C_n = 0
  • d'où : C₀ ( 1 + τ )ⁿ = M ∑ p_k (1 + τ)^n−k pour k dans [ 1 ... n ]
  • Soit, comme n n'a pas d'importance : C₀ = M ∑ p_k / (1 + τ)^k pour k dans [ 1 ... ∞ ]
• Viager à remboursements progressifs : mensualité n = M_n = (1 + τ') M₀

  C1	=	C0 ( 1 + τ ) − p1 (1 + τ') M0		| × ( 1 + τ )−1
  C2	=	C1 ( 1 + τ ) − p2 (1 + τ')2 M0		| × ( 1 + τ )−2
  ...	=	...		...
  Cn−1	=	Cn−2 ( 1 + τ ) − pn−1 (1 + τ')n−1 M0		| × ( 1 + τ )−(n−1)
  Cn	=	Cn−1 ( 1 + τ ) − pn (1 + τ')n M0		| × ( 1 + τ )−n

  Ce qui donne le résultat précédent en remplaçant (1+τ)^k par [(1+τ)/(1+τ')]^k
  C₀ = M₀ ∑ p_k (1 + τ')^k / (1 + τ)^k pour k dans [ 1 ... ∞ ]
• voir également : remboursement d'emprunt

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