Suites géométriques   [répertoire]

• Définition par récurrence : u_n+1 = f(u_n)
  • 1) premier terme de la suite : par exemple u₀
  • 2) formule de récurrence : u_n+1 = q × u_n pour n > 0 :
  • d'où : u₁ = q × u₀
  • d'où : u₂ = q × u₁ = q² × u₀
  • .............
  • d'où : u_n = qⁿ × u₀   (formule explicite)
    
• Définition explicite : u_n = f(n)
  • u_n = qⁿ × u₀
  • u_n = q^n−p × u_p (si le premier terme n'est pas u₀ mais u_p)
    Comment le retrouver ? en calculant u_n / u_p

    un	=	u0	×	qn
    up	=	u0	×	qp
    un / up	=			(qn / qp)	= qn−p

    u_n = u_p q^{(n − p)}
    ou : u_n/u_p = q^{(n − p)}
    q = (u_n/u_p)^{1/(n − p)}
• Représentation graphique (pour q > 0) :
  • exponentielle passant par le point (0, u₀)
  • si q > 1 : la suite est croissante : u_n+1 = q u_n > u_n
  • si q = 1 : la suite est constante : u_n+1 = u_n
  • si 0 < q < 1 : la suite est décroissante : u_n+1 = q u_n < u_n
  • Avec q < 0 : cette suite oscille.
  • si |q| < 1 : la suite converge vers 0
• Reconnaître qu'une suite est géométrique :
  • q = u_n+1 / u_n est constant
• Somme d'une suite géométrique :
  • S = u₁ + u₂ + ... + u_n−1 + u_n
  • en multipliant S par la raison q :
    q S = u₂ + u₃ + ... + u_n + u_n+1
  • et en soustrayant ces 2 suites :
    S ( 1 − q ) = u₁ − u_n+1 = u₁ − u₁ qⁿ
  • S = u₁ ( 1 − qⁿ ) / ( 1 − q )
    où u₁ est le premier terme de la suite
    et n est le nombre de termes de la suite.
  • En résumé : S = "premier terme" × ( 1 − q^{nombre de termes} ) / ( 1 − q )
    ATTENTION : u₀ + u₁ + ... + u_n−1 + u_n   contient (n+1) termes

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