Enchaînements magiques     (répertoire)

• "Ensorceler un nombre", c'est calculer :
  le quotient de la différence du triple de ce nombre et de 5 par la somme de ce nombre et de 1.
  Pour gagner le tournoi des sorciers, Harry Potter doit résoudre l'énigme suivante :
    "Qu'advient-il d'un nombre ensorcelé 2000 fois ?"
• Vérifiez que le nombre 2 ensorcelé 2 fois donne −3.
  formule pour 1 ensorcellement du nombre x : f(x) = (3 x − 5) / (x + 1)
  sous forme de suite : u_n+1 = f(u_n) = (3 u_n − 5) / (u_n + 1)
  premier ensorcellement de u₀ = 2 : u₁ = f(2) = (6 − 5) / 3 = 1/3
  second ensorcellement de 2 : u₂ = f(u₁) = f(1/3) = (1 − 5) / (4/3) = −4 × (3/4) = − 3
• Sans "baguette magique", pouvez-vous résoudre l'énigme ? Détaillez votre réponse.
  • expérimentation avec le nombre 2 (u₀ = 2) :
    troisième ensorcellement de 2 : f(−3) = (−9 − 5) / (−2) = 14/2 = 7
    quatrième ensorcellement de 2 : f(7) = (21 − 5) / 8 = 16 / 8 = 2
    → au quatrième ensorcellement, le nombre 2 redevient lui-même (u₄ = u₀)
    soit f(f(f(f(x)))) = x (u₀ = x)
  • essai avec le nombre x :
    • premier ensorcellement de x : u₁ = f(u₀) = f(x) = (3 x − 5) / (x + 1)
      si x ≠ −1
    • second ensorcellement de x : u₂ = f(u₁) = f(f(x)) = f((3 x − 5) / (x + 1))
      f(f(x)) = (3 [(3 x − 5) / (x + 1)] − 5) / ([(3 x − 5) / (x + 1)] + 1)
      f(f(x)) = (3 (3 x − 5) − 5 (x + 1)) / ((3 x − 5) + (x + 1))
      f(f(x)) = (9 x − 15 − 5 x − 5) / (3 x − 5 + x + 1)
      f(f(x)) = (4 x − 20) / (4 x − 4)
      u₂ = f(f(x)) = (x − 5) / (x − 1)
      si x ≠ 1
    • troisième ensorcellement de x : f[f(f(x))] = (3 [(x − 5) / (x − 1)] − 5) / ([(x − 5) / (x − 1)] + 1)
      f(f(f(x))) = (3 (x − 5) − 5 (x − 1)) / ((x − 5) + (x − 1))
      f(f(f(x))) = (3 x − 15 − 5 x + 5) / (x − 5 + x − 1)
      f(f(f(x))) = (− 2 x − 10) / (2 x − 6)
      u₃ = f(f(f(x))) = (− x − 5) / (x − 3)
      si x ≠ 3
    • quatrième ensorcellement de x : f[f(f(f(x)))] = (3 [(− x − 5) / (x − 3)] − 5) / ([(− x − 5) / (x − 3)] + 1)
      f(f(f(f(x)))) = (3 (− x − 5) − 5 (x − 3)) / ((− x − 5) + (x − 3))
      f(f(f(f(x)))) = (− 3 x − 15 − 5 x + 15) / (− x − 5 + x − 3)
      f(f(f(f(x)))) = (− 8 x) / (− 8)
      u₄ = f(f(f(f(x)))) = x = u₀
  • le nombre x redevient lui-même après 4 ensorcellements,
    à condition qu'il soit différent des 3 valeurs interdites : { −1, 1, 3 }
    2000 = 4 × 500 : le nombre redevient lui-même après 2000 ensorcellements.
• Soit la suite : u_n+1 = f(u_n) = (3 u_n − 5) / (u_n + 1)
  Elle est cyclique de période 4 : u₄ = u₀ ; donc u_n+4 = u_n
  indépendamment de u₀   (à condition qu'il soit différent de −1, 1, 3) : Condition : x ∈ ℝ \ {−1, 1, 3}
  Elle ne converge donc pas.
• le nombre − 1 ne peut pas être ensorcelé car il annule le dénominateur de f(x)
  le nombre 1 ne peut être ensorcelé qu'une seule fois.
  le nombre 3 ne peut être ensorcelé que deux fois.
  tous les autres nombres de R peuvent être ensorcelés indéfiniment.
• Y a-t-il d'autres formules homographiques de la forme : f(x) = (a x + b) / (c x + d) telles que f(f(f(f(x)))) = x ?
  • Soit f ⁴ = f o f o f o f = Id     (fonction identité)
    mais alors : l'inverse de f : f⁻¹ = f o f o f = f ³
    et l'inverse de f o f : f⁻² = f o f = f²
    → il est plus facile de calculer f ² et f⁻² dans le cas général et de les égaliser ensuite, (plutôt que f ⁴).
  • y = f(x) = (a x + b) / (c x + d)   (avec c ≠ 0)
    ⇒ f ²(x) = [x (a² + b c) + b (a + d)] / [c x (a + d) + (d² + b c)]
    Inversons y = f(x) pour obtenir x = f⁻¹(y) :
    c x y + d y = a x + b
    x (c y − a) = b − d y
    x = f⁻¹(y) = (−d y + b) / (c y − a)
    f ³(x) = f⁻¹(x) = (−d x + b) / (c x − a)     (b,c sont conservés a,d s'échangent et changent de signes)
    f ²(x) = f⁻²(x) = [x (d² + b c) − b (a + d)] / [−c x (a + d) + (a² + b c)]
  • forme homographique de f ⁿ :
    f ⁿ = (A x + B) / (C x + D) = (kA x + kB) / (kC x + kD)

    coefficients	f−2	=	f 2
    A	(d2 + b c)	= k	(a2 + b c)
    B	− b (a + d)	= k	b (a + d)
    C	− c (a + d)	= k	c (a + d)
    D	(a2 + b c)	= k	(d2 + b c)

  • Il faut vérifier la proportionalité des 4 coefficients :
    • (d² + b c) = k (a² + b c)
    • b (a + d) = −k b (a + d)   ⇒   k = −1
    • −c (a + d) = k c (a + d)   ⇒   k = −1
    • (a² + b c) = k (d² + b c)     (presque la première formule)
      (d² + b c) = k (a² + b c) = k² (d² + b c)   ⇒   k = ±1
    Ce qui se résume à la seule condition définitive : a² + b c = −d² − b c
    ou : a² + d² + 2 b c = 0
    partant de a, c, d arbitraires, b doit valoir : b = −(a² + d²) / (2 c)
    quand a, c, d sont des entiers, pour éviter un b fractionnaire on multiplie tous les coefficients par (2 c) :
    (a, c, d) → (a' = 2 c a, b' = −(a² + d²), c' = 2 c², d' = 2 c d)
  • application aux nombres (a, c, d) = (2, 4, 5)
    b = −(a² + d²) / (2 c) = −(4 + 25) / 8 = −29/8
    f(x) = (2 x − 29/8) / (4 x + 5)
    en multipliant par le dénominateur 8 : f(x) = (16 x − 29) / (32 x + 40)

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