Sujet : résoudre l'inéquation f(x) > 0 avec f(x) = (1/3) x3 − (7/2) x2 + 12 x − 10
  1. Quel est le domaine de définition de f(x) ? réponse
    retrait des points ou des intervalles interdits : division(par zéro), racine(nombre < 0), log(nombre ≤ 0)
  2. Quels sont les points à l'infini ? x → ± ∞ ? réponse
    mettre en facteur le terme de plus haut degré ; puis faire le produit des 2 limites
  3. Variation de la fonction :
  4. D'après le tableau de variation : nombre de solutions à f(x) = 0 ? réponse
    pour un polynôme de degré N ≥ 1, il y a au maximum N solutions à l'équation f(x) = 0
    si N est pair (N=2k), il y a un nombre pair de solutions : { 2, 4, . . ., N}
    si N est impair (N=2k+1), il y a un nombre impair de solutions : { 1, 3, . . ., N}
  5. calculer f(0), en déduire un premier encadrement de la racine ? réponse
    on applique le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) :
    pour une fonction f continue, (ce qui est le cas d'un polynôme)
    soit I = [a ; b] : si 0 ∈ f(I) ; alors, ∃ c ∈ I tel que f(c) = 0
    → faire un dessin pour s'en convaincre.
  6. avec la calculatrice encadrer la racine : x1 < r < x2 avec x2 − x1 = 10-3 ? réponse
    en traçant la courbe et en zoomant sur l'intersection.
  7. on prendra la borne supérieure de l'encadrement comme valeur de la racine.
    Donner la solution de l'inéquation f(x) > 0 ? réponse
    on utilise le tableau de variation.
  8. Tracé de la courbe avec DrawLigne avec : y(x) = pow(x, 3) / 3 - 7 * pow(x, 2) / 2 + 12 * x - 10
    vérifier la racine en réglant la fenêtre graphique à xmin=valeur trouvée, xmax=valeur trouvée, ymin=-1.e-3, ymax=1.e-3
    attention : mettre des points décimaux (langage en anglais)
  9. Calcul de valeurs particulières avec calculette
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