Relativité Restreinte analyse [répertoire]

• objectif : Démontrer à partir des formules de Lorentz
  la dilatation du temps et la contraction des longueurs
  Les raisonnements rapides, s'ils sont faits de manière symétrique,
    démontrent la dilatation du temps et des longueurs
    Δx = 0   ⇒   Δt0 = γ Δt
    Δt = 0   ⇒   Δx0 = γ Δx
  la question est : ces dilatation/contraction sont-elles réelles ?
  convention : c = 1 (pour remettre les c : remplacer v → v/c   et   t → ct )
  voir aussi : relativite_restreinte.html pour la mesure de l'horloge et de la règle mobiles dans le repère fixe.
   
• Remarque : La notion de repère étendu n'est pas physique :
  pour un repère tournant à la vitesse ω, les points à R = c / ω ont v = c !
  les points côté déplacement de l'axe Ox du repère mobile sont dans notre futur
  mais si nous y allons, quand nous arriverons, ils seront dans notre passé.
  problème de la non-localité avec la vitesse limite c.
   
• Les 2 mesures sont très différentes :
  pour mesurer un temps, il faut le faire au même endroit
  pour mesurer une longueur, il faut le faire au même instant
  avec l'horloge qui produit 2 évènements ponctuels,
    il n'y a pas de mesure possible autre que dans le repère propre
    c'est une mesure locale.
    physiquement, c'est le comportement dans le repère local qui compte
      (désintégration radioactive, durée de vie)
  avec la règle qui exite indéfiniment, il y a possibilité d'effectuer d'autres mesures
    ces mesures sont non locales.
  la règle mobile peut être mesurée lors de son passage :
  2 points séparés dans l'espace qui vont passer à t=0 (à des instants différents de R0)
   
• Lorentz : repère mobile R0 (propre) ; repère fixe R (ou tout autre Galiléen)
  t0 = γ (t − v x)
  x0 = γ (x − v t)   (Galilée x0 ≈ x − v t)
  
  t = γ (t0 + v x0)
  x = γ (x0 + v t0)
  avec les repères coïncidents et synchronisés à t=0
   
• horloge du repère mobile : A(t0=0, x0=0) → B(t0=T0, x0=0)
  évènements A et B vus dans le repère fixe :
  tA = γ (t0 + v x0) = 0
  xA = γ (x0 + v t0) = 0
  T = tB = γ (t0 + v x0) = γ T0
  xB = γ (x0 + v t0) = γ v T0
  T > T0
  Le raisonnement avec les 4-distances (t² − r²) s'applique aussi
  t² − r² = t0² − r0²
  t² − v²t² = t0²
  α² t² = t0²
  t = γ t0
   
• règle du repère mobile :
  mesure de la règle : A(t0=0, x0=0) → B(t0=0, x0=L0) de longueur L0
  Si la règle consistait en 2 évènements A et B ponctuels,
    on ne pourrait rien faire de différent de la mesure du temps :
    en appliquant la conservation de la 4-distance
    on trouverait une dilatation des longueurs
  Comme la règle persiste, on peut mesurer un autre évènement B'(t=0, x=L)
  repère mobile : trajectoire de B(t0) = (t0, x0=L0) avec t0 ∈ ℝ
    lors du passage de l'extrêmité B de la règle à t=0 :
  repère fixe : mesure à t=0 : A(0,0) → B'(t=0, x=L)
  (le nouvel évènement B' ≠ évènement B du repère propre)
  origine A(t=0, xa=0) → extrêmité B'(t=0, xb=L)
  t = γ (t0 + v L0)
  x = γ (L0 + v t0)
  on impose t=0, ce qui nous donne t0 = − v L0
  L = x = γ (L0 − v² L0) = γ α² L0 = α L0
  la règle de longueur L0 est contractée dans le repère fixe.
   
• La longueur apparente vue par un observateur est encore différente.
  elle dépend de l'angle θ entre la vitesse et l'observateur
  les photons qui arrivent à l'oeil de l'observateur
    des 2 extrêmités de la règle n'ont pas été émis au même temps
  L_apparente = L / (1 − v cos(θ))
  C'est elle qui compte dans le calcul du potentiel de Lienard-Wiechert :
    φ = q / ( r (1 − v cosθ) )

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