Mécanique

• Préliminaire : la mécanique étudie le mouvement des corps dans l'espace et le temps.
  Les 3 lois de Newton s'appliquent dans un référentiel Galiléen
  lois de Newton
  ( Un repère fixe ou qui se déplace avec une vitesse de translation constante )
• Principe Fondamental de la Dynamique ( 2^ème loi de Newton ) :
  ∑_i F_i = m a ( égalité vectorielle : F_i et a sont des vecteurs )
  • application au mouvement de chute libre ( en négligeant la résistance de l'air )
    • force unique : la pesanteur : P = −m g
      g=9,81 N/kg à Paris ; l'axe Oz est orienté vers le haut.
    • ∑ F_i = P = −m g = m a
    • a = dv/dt = −g   ⇒   v = −g t + v₀
    • v = dz/dt = −g t + v₀   ⇒   z(t) = (−1/2) g t² + v₀ t + z₀
      mouvement dans le repère (z,t) : parabole z(t)
      maximum atteint pour v=0 : t=v₀/g et z=v₀²/(2g) + z₀
      z revient à z₀ pour t=2v₀/g
  • application au mouvement d'une masse attachée à un ressort vertical ( Oz orienté vers le bas )
    • 2 forces : la pesanteur : P = m g   et   la force de rappel du ressort : F = − k z
      ( l'origine z = 0 correspond à l'extrêmité du ressort sans le poids )
    • ∑ F_i = P + F = m g − k z = m a
    • a = d²z/dt² = g − k z / m
    • solutions de : d²z/dt² + ( k / m ) z = g
      • équation sans second membre : z = z_max sin( ω t + φ )   avec : ω² = k / m
        ou encore z = z_max cos( ω t + φ )   ( φ sera alors modifié de ±π/2 )
      • car : d²z/dt² = − ω² z
      • solution particulière : z = m g / k   ( alors d²z/dt² = 0 )
        ( constante : elle correspond à l'équilibre entre le ressort étiré et la masse )
      • d'où la solution générale : z = z_max sin( ω t + φ ) + m g / k
        ( avec les 2 constantes z_max et φ à déterminer par les conditions initiales de position et de vitesse )
    • Si l'on place l'origine de l'axe OZ au point d'équilibre entre le ressort étiré et la masse :
      • Z = z − m g / k dans l'équation précédente, on remplace z par : z = Z + m g / k
      • L'équation devient : d²Z/dt² + ( k / m ) Z = 0
      • Il n'y a plus de second membre : l'état d'équilibre est Z = 0
• Cas où les forces dérivent d'un potentiel : F_x = − dE_p/dx, ...
  • ∑_i F_i = m dv/dt   devient : ∫ ∑_i F_i dx = ∫ m dv/dt dx + constante
    • ∫ ∑_i F_i dx = − ∑_i E_pi
    • ∫ m dv/dt dx = ∫ m dx/dt dv = ∫ m v dv = (1/2) m v²
    • Soit : ∑_i E_pi + (1/2) m v² = constante
    • La constante est l'énergie mécanique totale de l'état initial qui va se conserver.
  • Forces dérivant d'un potentiel ( qui dépendent uniquement de la position )

    pesanteur :	F = − m g	⇒	Epot = m g z
    ressort :	F = − k x	⇒	Epot = (1/2) k x2
    gravité :	F = − G M m / r2	⇒	Epot = − G M m / r
    électrostatique :	F = K Q q / r2	⇒	Epot = K Q q / r

    Les énergies cinétique et potentielles sont converties l'une en l'autre sans perte.
  • Forces ne dérivant pas d'un potentiel
    • les forces de frottement qui dépendent de la vitesse, par exemple : F = − k v²
      ( ou pour les petites vitesses : F = − k |v| )
    • L'énergie est dissipée et n'est pas conservée.
• Principe de l'inertie ( 1^ère loi de Newton ) :
  • Un corps qui n'est soumis à aucune force se déplace en ligne droite à vitesse constante.
    Son centre de gravité suit un mouvement rectiligne uniforme.
  • F = 0   =>   a = dv/dt = 0   =>   v = dx/dt = v₀   =>   x = v₀ t + x₀
• Principe de l'action et de la réaction, ou des actions réciproques (3^ème loi de Newton ) :
  • Si un corps A exerce une force F_A/B sur B, alors B exerce une force F_B/A opposée sur A
  • F_B/A = − F_A/B   ( égalité vectorielle )
  • Si l'on prend l'ensemble formé par les 2 corps A et B, qui n'est soumis à aucune force extérieure.
    Son centre de gravité suit un mouvement rectiligne uniforme.
    La somme des forces intérieures est nulle : F_B/A + F_A/B = 0

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