Équilibre gravitationnel (Newtonien) d'une boule de gaz (parfait)     (répertoire)

• Après refroidissement à T (équilibre gravitationnel Newtonien) (sans rotation)
• coquille entre r et r+dr
  • S(r) = 4 π r²
  • masse : dm = ρ(r) S(r) dr
  • Gaz Parfait (p V = (m/M) R T) : p(r) = ρ(r) (R/M) T   ⇔   ρ(r) = p(r) / ((R/M) T)
  • p(r) = ∫_r^∞ ρ(r) g(r) dr   ⇔   dp = − ρ(r) g(r) dr
  • g(r) = G M(r) / r²
  • M(r) = ∫₀^r dm = ∫₀^r ρ(r') S dr = ∫₀^r p(r') / ((R/M) T) 4 π r'² dr'
• équation différentielle : dp = − ρ(r) g(r) dr
  • dp = − p(r) / ((R/M) T) × G M(r) / r² dr
  • ((R/M) T) r² (dp/dr) / p(r) = − G M(r)
  • ((R/M) T) r² (dp/dr) / p(r) = − G ∫₀^r p(r') / ((R/M) T) 4 π r'² dr'
  • a r² (dp/dr) / p(r) = − ∫₀^r p(r') r'² dr'   avec : a = ((R/M) T)² / (4 π G)
• différentions par rapport à r, puis isolons p'' :
  • a (2 r p'/p + r² p''/p − r² p'²/p²) = − p r²
  • a (2 p'/r + p'' − p'²/p) = − p²
  • p'' = − p² / a + p'²/p − 2 p'/r
• résolution numérique : a = 1, C.L. (r = 0, p(0) = 1, p'(0) = 0)
  • point d'inflexion en : r = 1.924, p = 0.644, dp = -0.281
  • fin de la courbe : r = 7, p(7) = 0.00024
    

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