Arches Gothiques

• Une voûte circulaire nécessite des arcs-boutants
  Comment construire une arche qui peut se soutenir seule ?
  sans forces de cisaillement ("contact sans frottement")
  les seules forces qui la tiennent sont celles des 2 appuis au sol.
• Formons une voûte (symétrique) avec des billes glissant les unes sur les autres :
  • Expérimentalement, il faut placer les billes sur un plan incliné.
    1. pour qu'elles restent dans un plan
    2. pour réduire leur poids apparent
    3. pour bénéficier des frottements entre les billes et le plan
  • Le problème symétrique est celui de la chaînette :
    une chaîne (un collier de perles) qui pend entre 2 points
    sans forces de cisaillement : solution y = cosh(x) = (exp(x) + exp(−x)) / 2
    Les forces entre les billes deviennent des tensions de fil.
  
• Calcul discret : paramètres : angle initial α₀ et nombre de billes par côté n
  • Repère (O,x,y) : axe Ox horizontal, axe Oy vertical orienté vers le bas
    angles α : angles entre la force de contact et l'axe Oy
  • Bille 0 : (poids P, 2 forces transmises |F₀|)
    La première bille (sommet de l'arche) ( bille₀, de poids (0, P) ) repose sur 2 billes symétriques (bille₁).
    L'angle entre la verticale et la droite reliant les centres des bille 0 et 1 est α₀ que l'on peut choisir arbitrairement.
    selon Ox : F_x0 = |F₀| sin(α₀)   (libre choix de α₀ : 1 degré de liberté)
    selon Oy : F_y0 = P/2 = |F₀| cos(α₀)
    |F₀| = P / (2 cos(α₀))
    F_x0 = (P/2) tan(α₀)
    soit : F₀ = P/2 ( ± tan(α₀), 1 )
  • La force que bille₁ exerce sur bille₀ est :
    F₀ = (F_x0, F_y0) = |F₀| ( sin(α₀), cos(α₀) )
    soit : F_x0 = F_y0 tan(α₀) = (P/2) tan(α₀)
    le contact entre les billes étant sans frottement,
    la force est ⊥ aux surfaces donc selon la droite reliant les centres des billes.
  • Bille k : (poids P, force reçue F_k−1, force transmise F_k)
    elle reçoit F_k−1, plus son propre poids ( 0, P ) :
    Equilibre : F_k = F_k−1 + (0, P)

    selon Ox :	Fx0	=	Fx1	⇒ Fxk = Fx0 = P/2 tan(α0)
    	|F0| sin(α0)	=	|F1| sin(α1)
    selon Oy :	Fy0 + P	=	Fy1	⇒ Fyk = Fy0 + k P = P/2 + k P
    	|F0| cos(α0) + P	=	|F1| cos(α1)

    Calcul de F_xk = |F_k| sin(α_k) :
        |F_k| sin(α_k) = |F₀| sin(α₀) = (P/2) tan(α₀)
    Calcul de F_yk = |F_k| cos(α_k) :
        |F₀| cos(α₀) = P/2
        |F_k| cos(α_k) = P/2 + k P = (2k+1) P/2
    tan(α_k) = tan(α₀) / (2k+1)
    F_k² = (P/2)² (tan²(α₀) + (2k+1)²)
    soit : F₀ = P/2 ( ± tan(α₀), 1 )
• Equation de la courbe : soit D le diamètre des billes
  Position des centres des billes : (axe Oy orienté vers le bas)
  X₀ = ( 0, 0 )
  X₁ = D ( sin(α₀), cos(α₀) )
  tan(α₁) = F_1x / F_1y = tan(α₀) / 3
  X₂ = X₁ + D ( sin(α₁), cos(α₁) )
  ...
  tan(α_n) = tan(α₀) / ( 2 n + 1 )
  X_n+1 = X_n + D ( sin(α_n), cos(α_n) )
• Arche continue / chainette :
  Soit un segment "ds" avec ds² = dx² + dy²
  Bilan des forces : T(x+dx) = dP + T(x)   avec dP = (0, λ g) ds
  Ox : dT_x = 0
  Oy : dT_y = λ g ds = λ g √dx² + dy²
  Ox : T_x = constante = T_x0
  La tension est dirigée selon la tangente t = ds/|ds| : dy/dx = T_y/T_x
  T_y = T_x0 y'(x)
  dT_y = T_x0 y''(x) dx
  T_x0 y''(x) dx = λ g √dx² + dy²
  T_x0 y''(x) = λ g √1 + y'²
  Solution : y(x) = a cosh(x/a) + b ; y'(x) = sinh(x/a) ; y''(x) = (1/a) cosh(x/a)
  On applique la relation : cosh² − sinh² = 1
  donc : 1 + y'² = (cosh(x/a))²
  Vérification : T_x0 y''(x) = T_x0 (1/a) cosh(x/a)
      λ g √1 + y'² = λ g cosh(x/a)
  Relation entre T_x0 et a : T_x0 = a λ g
• compléments sur t = ds/|ds| :
  t = ds / |ds| = ( dx / √dx² + dy², dy / √dx² + dy²) = ( 1 , y') / √1 + y'²
  remarque : |t| = 1
  dt_x/dx = − y' y'' / (√1 + y'²)³
  dt_y/dx = y'' / (√1 + y'²) − y' y' y'' / (√1 + y'²)³
  dt_y/dx = (y'' + y'' y'²) − y' y' y'') / (√1 + y'²)³
  dt/dx = y'' (− y', 1) / (√1 + y'²)³
  remarque : t ⊥ dt/dx : t . dt/dx = 0

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