Révisions des dérivées

• Soit V(x) = x ( 40 − 2 x ) ( 60 − 2 x ) sur l'intervalle I = [ 0 ; 20 ]
  Calculer le maximum de cette fonction sur l'intervalle I
• 2 conditions pour que V(x) soit maximum (soit à l'abscisse x_M) :
  • sa dérivée V'(x) est nulle en x_M
  • V(x) est croissante avant x_M et décroissante ensuite, le point le plus haut étant en x_M
• Calcul de la dérivée : V(x) est un produit de 3 termes
  • Méthode 1 : On connaît la dérivée d'un produit de 2 termes : f(x) = u v     →     f '(x) = u' v + u v'
    • On peut prendre u = x ( 40 − 2 x )   et   v = 60 − 2 x
    • V(x) = u v     →     V'(x) = u' v + u v'
      • u = x ( 40 − 2 x ) est lui-même un produit :
        u = A B     →     u' = A' B + A B'
            avec A = x et B = 40 − 2 x     →     A' = 1 et B' = −2
        en remplaçant A et B dans l'expression de u' :
        u' = 1 ( 40 − 2 x ) + x ( −2 ) = 40 − 2 x − 2 x = 40 − 4 x
      • v = 60 − 2 x     →     v' = −2
    • en remplaçant u, u', v et v' dans V'(x) :
      V'(x) = u' v + u v' = (40 − 4 x) ( 60 − 2 x ) + x ( 40 − 2 x ) ( −2 )
      V'(x) = 2400 − 80 x − 240 x + 8 x² − 80 x + 4 x²
      V'(x) = 12 x² − 400 x + 2400
  • Méthode 2 : On peut appliquer la dérivée d'un produit de 3 termes :
    f(x) = u v w     →     f '(x) = u' v w + u v' w + u v w'
    on peut le retrouver en développant le produit : (u + Δu) (v + Δv) (w + Δw) = u v w + Δ(u v w)
    = u v w + (Δu v w + u Δv w + u v Δw) + Δu Δv w + Δu v Δw + u Δv Δw + Δu Δv Δw
    dont on retire les termes avec 2 Δ ou 3 Δ trop petits.
    car f '(x) = lim [ f(x + Δx) − f(x) ] / Δx quand Δx → 0
    f '(x) = lim [ (u + Δu) (v + Δv) (w + Δw) − u v w ] / Δx
    f '(x) = lim (Δu v w + u Δv w + u v Δw) / Δx = u' v w + u v' w + u v w'
    u = x ; v = ( 40 − 2 x ) ; w = ( 60 − 2 x )
    u' = 1 ; v' = − 2 ; w' = − 2
    f '(x) = ( 40 − 2 x ) ( 60 − 2 x ) − 2 x ( 60 − 2 x ) − 2 x ( 40 − 2 x )
    f '(x) = 2400 − 80 x − 120 x + 4 x² − 120 x + 4 x² − 80 x + 4 x²
    f '(x) = 2400 − 400 x + 12 x²
  • Méthode 3 : On développe le produit V(x) = ( 40 x − 2 x² ) ( 60 − 2 x )
    V(x) = 2400 x − 80 x² − 120 x² + 4 x³
    V(x) = 4 x³ − 200 x² + 2400 x
    On dérive maintenant : (x³) ' = 3 x²   ;   (x²) ' = 2 x
    V'(x) = 12 x² − 400 x + 2400
• Remarque sur le développement d'un produit :
  • V(x) = A × B × C = ( A × B ) × C = A × ( B × C )
    Pour effectuer ce produit, on multiplie les 2 premiers termes entre eux : A × B
    Puis on multiplie ce résultat par le terme suivant C : ( A × B ) × C
    ou (B × C) en premier puis A × ( B × C ) : → la multiplication est associative
    Les parenthèses ne sont pas utiles
  • Ne pas confondre avec : A ( B + C ) = A B + A C dont voici une illustration :

    B C A A B A C

    =

    B + C A A ( B + C )

    → La multiplication est distributive par rapport à l'addition
  • Remarque : (A B) (A C) = A² B C ≠ A B C
• résolution de l'équation V'(x) = 0
  • 12 x² − 400 x + 2400 = 0
  • on simplifie par 4 : 3 x² − 100 x + 600 = 0
  • Δ = b² − 4 a c = (−100)² − 4 × 3 × 600 = 10000 − 7200 = 2800 > 0 : il y a 2 racines
  • racines x = (− b ± √Δ) / (2 a)
  • x = (100 ± √2800) / 6 = (100 ± 20 √7) / 6 = 10 (5 ± √7) / 3
  • x₁ = 7,85     et     x₂ = 25,49
  • seule la racine 7,85 est dans l'intervalle I : maximum en x_M = x₁
• vérification qu'il s'agit bien d'un maximum : tableau de variation
  V'(x) est du signe de "a=12" à l'extérieur des racines
  en effet, quand x → ± ∞ x² > 0 et a x² → ∞ avec le signe de a

  x	−∞	x1		x2	+∞
  V'(x)	+	0	−	0	+
  V(x)	croissante	max	décroissante	min	croissante

  Au cours du calcul, attention à ne pas confondre f(x) et f '(x) :
  • Pour étudier la variation de f(x)
  • On étudie le signe de f '(x)
  • Pour des dérivées compliquées, il faut parfois étudier aussi leur variation pour trouver leur signe.
• La formule (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' s'applique quelque soit n, entier positif, négatif, fractionnaire ou réel.
  1/u = u⁻¹ d'où : (u⁻¹)' = −1 × u⁻² u' = − u' / u²
  1/u² = u⁻² d'où : (u⁻²)' = −2 × u⁻³ u' = − 2 u' / u³
  √u = u^1/2 d'où : (u^1/2)' = (1/2) × u^−1/2 u' = u' / (2 √u)
• exemple compliqué : dérivée de f(x) = u³ v / ( w t² ) ? ( pour parvenir à la maîtrise )
  • Méthode 1 : il s'agit d'un quotient de 2 termes : f(x) = A / B
    avec A = u³ v ; B = w t²
    qui sont eux-même des produits que l'on sait dériver :
    • A' = (u³)' v + u³ v' = 3 u² u' v + u³ v'     = ( 3 u' v + u v') u²
    • B' = w' t² + w (t²)' = w' t² + 2 w t t'       = ( w' t + 2 w t') t
    f '(x) = ( A' B − A B' ) / B²
    calcul du numérateur
    • on remplace : ( 3 u' v + u v') u² w t² − u³ v ( w' t + 2 w t') t
    • facteur commun : u² t
    • on factorise : u² t [ ( 3 u' v + u v') w t − u v ( w' t + 2 w t') ]
    • on développe dans le crochet : u² t [ 3 u' v w t + u v' w t − u v w' t − u v 2 w t' ]
    dénominateur : B² = w² t⁴
    en simplifiant par t : f '(x) = u² ( 3 u' v w t + u v' w t − u v w' t − 2 u v w t' ) / ( w² t³ )
  • Méthode 2 : il s'agit d'un produit de 4 termes : f(x) = A × B × C × D
    avec A = u³ ; B = v ; C = 1/w ; D = 1/t²
    que l'on sait dériver : A' = 3 u² u' ; B' = v' ; C' = − w'/w² ; D' = −2 t'/t³
  • f '(x) = A' B C D + A B' C D + A B C' D + A B C D'
  • on remplace : f '(x) = 3 u² u' v (1/w) (1/t²) + u³ v' (1/w) (1/t²) + u³ v (− w'/w²) 1/t² + u³ v (1/w) (−2 t'/t³)
  • on développe : f '(x) = 3 u² u' v / (w t²) + u³ v' / (w t²) − u³ v w' / (w² t²) − 2 u³ v t' / (w t³)
  • on met au même dénominateur : w² t³
    f '(x) = ( 3 u² u' v w t + u³ v' w t − u³ v w' t − 2 u³ v w t' ) / (w² t³)
    f '(x) = ( 3 u' v w t + u v' w t − u v w' t − 2 u v w t' ) u² / (w² t³)
    remarquez la régularité de la formule car f(x) = u³ v¹ w⁻¹ t⁻²
    • dans la somme des 4 termes (partie dérivée) : ( règle yⁿ → n y' )
      u³ → 3 u'   ;   v¹ → v'   ;   w⁻¹ → − w'   ;   t⁻² → − 2 t'
    • dans le facteur commun : tous les exposants sont diminués de 1 : ( règle yⁿ → yⁿ⁻¹ )
      u³ → u²   ;   v¹ → v⁰=1   ;   w⁻¹ → w⁻²   ;   t⁻² → t⁻³

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