Bac ES 2014 Math Pondichéry Exercice 2 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 2 (centre pour oiseaux sauvages)
• 1) calculer u₁ et u₂
  • u₀ = 115
  • 40 % des oiseaux de u₀ restent en u₁ et 120 nouveaux oiseaux : u₁ = 0,40 u₀ + 120
  • u₁ = 0,40 u₀ + 120 = 0,40 × 115 + 120 = 166
  • u₂ = 0,40 u₁ + 120 = 0,40 × 166 + 120 = 186,4 ≈ 186
  • précision 3 chiffres comme les données de l'énoncé
• 2) à partir de u_n : 40 % des oiseaux de u_n se retrouvent dans u_n+1
  120 nouveaux oiseaux entrent dans u_n+1
  • 2.a) algorithme 1 : le coefficient 0,6 de U est faux
    algorithme 2 : l'affectation initiale est à l'intérieur de la boucle d'où toujours la même valeur de U
  • 2.b) u_n+1 = 0,40 u_n + 120
• 3) v_n = u_n − 200     (donc u_n = v_n+ 200)
  • 3.a) suite géométrique si v_n+1 / v_n = constante
    v_n+1 = u_n+1 − 200 = 0,40 u_n + 120 − 200
    v_n+1 = 0,40 u_n − 80 = 0,40 (v_n + 200) − 80
    v_n+1 = 0,40 v_n + 80 − 80 = 0,40 v_n
    (v_n) est une suite géométrique de raison 0,40
    de terme initial : v₀ = u₀ − 200 = 115 − 200 = − 85
  • 3.b) formulation explicite : v_n = 0,40ⁿ v₀ = − 85 × 0,40ⁿ
  • 3.c) u_n = v_n + 200 = − 85 × 0,40ⁿ + 200
    u_n = 200 − 85 × 0,40ⁿ
  • 3.d) u_n < 200
    85 × 0,40ⁿ > 0   donc :   u_n < 200
    le nombre d'oiseaux ne devrait pas dépasser la limite 200 (aux fluctuations aléatoires près)
    (remarque : 0,40ⁿ → 0   donc u_n → 200 par valeur inférieure)
• 4) subvention de 20 € par oiseau.
  • 1^er janvier 2013 → u₀ = 115 oiseaux présents
  • 1^er janvier 2014 → u₁ = 166
  • 1^er janvier 2015 → u₂ = 186
  • 1^er janvier 2016 → u₃ = 194
  • 1^er janvier 2017 → u₄ = 198
  • 1^er janvier 2018 → u₅ = 199
  • 199 + 198 + 194 + 186 + 166 + 115 = 1058
  • total des subventions : 1058 × 20 € = 21160 €

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