Bac ES 2014 Math Polynésie Exercice 3 Corrigé (Suite Arithmético-Géométrique)

• Suite Arithmético-Géométrique (généralités)
• Enoncé : voir Exercice 3
• Suite Arithmético-géométrique (u_n+1 = q u_n + r) ce qui est toujours pareil.
  • La limite u_∞ = L vérifie : L = q L + r   soit : L = r / (1 −q)
  • converge vers L si |q| < 1
  • la suite v_n = u_n − L est une suite géométrique de raison q
  • v_n+1 = q v_n   =>   v_n = v₀ qⁿ
  • u_n = v_n + L = v₀ qⁿ + L
  • u_n = (u₀ − L) qⁿ + L
• Suite : u₀ = 5 ; u_n+1 = (1/2) u_n + 1
• A.1) imprimer tous les termes de la suite
  • algorithme 1 : affiche seulement u_n après la boucle
  • algorithme 2 : affiche U dans la boucle mais l'initialise dans la boucle => on a toujours U = 5
  • algorithme 3 : initialise U avant la boucle, l'imprime dans la boucle : c'est le bon algorithme
• A.2) La suite est décroissante et décroît de plus en plus lentement en restant supérieur à 2 :
  elle pourrait tendre vers 2
• B.1) v_n = u_n − 2 => u_n = v_n + 2
  • on applique la formule en (n+1) et on remplace u_n+1 par sa définition :
    v_n+1 = u_n+1 − 2 = (1/2) u_n + 1 − 2
  • on remplace u_n par son expression en fonction de v_n
    v_n+1 = (1/2) u_n − 1 = (1/2) (v_n + 2) − 1 = (1/2) v_n + 1 − 1 = (1/2) v_n
  • (v_n) est une suite géométrique de raison (1/2)
  • v₀ = u₀ − 2 = 5 − 2 = 3
  • remarque : convergence car : | q = (1/2) | < 1
    limite : L = (1/2) L + 1 => 2 L = L + 2 => L = 2

    un+1	=	(1/2)	un	+	1
    L	=	(1/2)	L	+	1
    (un+1 − L)	=	(1/2)	(un − L)

• B.2) exprimer u_n :
  • on explicite la suite géométrique : v_n = v₀ / 2ⁿ
  • u_n = v₀ / 2ⁿ + 2 = 2 + 3 (1/2)ⁿ
• B.3) variation de (u_n) :
  u_n+1 − u_n = [2 + 3 (1/2)ⁿ⁺¹] − [2 + 3 (1/2)ⁿ]
  u_n+1 − u_n = 3 (1/2)ⁿ (1/2 − 1) = 3 (1/2)ⁿ (−1/2) = − 3 (1/2)ⁿ⁺¹ < 0 donc décroissante
• B.4) limite de (u_n) :
  (1/2)ⁿ → 0   ( qⁿ → 0 si |q| < 1 )
  u_n = 2 + 3 (1/2)ⁿ → 2   (la limite L calculée si dessus)
• B.5) à partir de quel rang : u_n − 2 ≤ 10⁻⁶
  3 (1/2)ⁿ ≤ 10⁻⁶
  ln(3) − n ln(2) ≤ −6 ln(10)
  ln(3) + 6 ln(10) ≤ n ln(2)
  n ≥ [ ln(3) + 6 ln(10) ] / ln(2) = 21.516531070045332
  à partir de n = 22 : u_n − 2 ≤ 10⁻⁶

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