Bac ES 2014 Métropole Exercice 2 spécialité Corrigé

• Enoncé voir Exercice 2
• explication : arbre probabiliste (qui n'est pas le graphe) :

  A	→→→ 0,9 →→→	A
  	→→→ 0,1 →→→	B
  B	→→→ 0,4 →→→	A
  	→→→ 0,6 →→→	B

  Pour le graphe, il faut replier les flèches car nous n'avons qu'un seul A et un seul B
• 1.a) graphe probabiliste : (difficile à reproduire en texte)

  ←← 0,9       A →→	→→→ 0,1 →→→	→ → B       0,6 ← ←
  	←←← 0,4 ←←←

  La somme des probabilités sortantes de A ou B est égale à 1.
• 1.b) matrice de transition M : ( permet de passer de P_n à P_n+1 par P_n+1 = P_n M )

  M =	0,9	0,1
  	0,4	0,6

  La somme des éléments d'une ligne est égale à 1.
• 1.c) P₁ = (0,5 0,5) : d'après l'énoncé Alice a autant de chances d'atteindre sa cible que de la manquer.
  P₂ = P₁ M

  			0,9	0,1
  			0,4	0,6
  P2 =	0,5	0,5	0,5 × 0,9 + 0,5 × 0,4	0,5 × 0,1 + 0,5 × 0,6
  P2 =			0,65	0,35

  P₂ = (0,65 0,35)
• 2.a) P_n+1 = (a_n+1 ; b_n+1) = P_n M

  			0,9	0,1
  			0,4	0,6
  Pn+1 =	an	bn	an × 0,9 + bn × 0,4	an × 0,1 + bn × 0,6

  P_n+1 = (0,9a_n+0,4b_n ; 0,1a_n+0,6b_n)
  a_n+1 = 0,9 a_n + 0,4 b_n
• 2.b) remarque : a_n + b_n = 1
  • b_n = 1 − a_n
  • en remplaçant dans a_n+1 = 0,9 a_n + 0,4 (1 − a_n)
    a_n+1 = 0,9 a_n + 0,4 − 0,4 a_n = 0,5 a_n + 0,4   (suite arithmético-géométrique)
• 3.a) Afficher P_n (trop facile : même pas de piège)
  • après l'initialisation, on a P₁ = (0,5 0,5)
  • lors de la première itération de la boucle : i = 2, il faut obtenir P₂
    • a prend la valeur 0,5 × a + 0,4     le "a" de droite est a₁ et le "a" de gauche est a₂
    • b prend la valeur 1 − a     "b" est b₂ déduit de a₂
  • si n = 2, on passe une seule fois dans la boucle et on sort (a₂ b₂)
• 3.b) P₂ = P₁ M
  P₃ = P₂ M = P₁ M² ...
  donc P_n = P₁ Mⁿ⁻¹
  ( suite géométrique commençant à P₁ au lieu de P₀ )
  ( suite géométrique commençant à P_k au lieu de P₀ : P_n = P_k M^n−k )
  donc P₅ = P₁ M⁴

  M4 =	0,8125	0,1875
  	0,75	0,25

  P₅ = P₁ M⁴ = (0,78125 ; 0,21875)
• 4.a) u_n = a_n − 0,8     avec a_n+1 = 0,5 a_n + 0,4
  • démontrer qu'une suite est géométrique : u_n+1 = q u_n
  • u_n+1 = a_n+1 − 0,8
  • u_n+1 = 0,5 a_n + 0,4 − 0,8
  • il faut éliminer a_n (par substitution)
    u_n + 0,8 = a_n
  • u_n+1 = 0,5 (u_n + 0,8) − 0,4
  • u_n+1 = 0,5 u_n + 0,4 − 0,4 = 0,5 u_n
  • (u_n) est une suite géométrique de raison 0,5
  • premier terme : u₁ = a₁ − 0,8 = 0,5 − 0,8 = − 0,3
  • démarche : u_n+1(a_n+1) → u_n+1(a_n) → u_n+1(u_n)
  • remarque sur la valeur 0,8 : si (a_n) → L :
    L = 0,5 L + 0,4   =>   L = 0,8

    	an+1	=	0,5	an	+	0,4
    	L	=	0,5	L	+	0,4
    par soustraction :	(an+1 − L)	=	0,5	(an − L)	+	0

• 4.b) u₁ = − 0,3
  u_n = u₁ 0,5ⁿ⁻¹     ( remarque : u_n = u_k q^n−k )
  u_n = − 0,3 × 0,5ⁿ⁻¹
  a_n = u_n + 0,8 = 0,8 − 0,3 × 0,5ⁿ⁻¹
• 4.c) la suite 0,5ⁿ converge vers 0 quand n → ∞   :   a_∞ = 0,8
  la probabilité d'atteindre la cible tend vers 0,8
• 4.d) Propriété : un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0
            converge vers P tel que P = P M
  • Bien que ce ne soit pas demandé, essayons de faire ce calcul :
  • a_n+1 = 0,9 a_n + 0,4 b_n
    b_n+1 = 0,1 a_n + 0,6 b_n
  • qui, à la convergence devient :
    a = 0,9 a + 0,4 b     soit : 0,1 a = 0,4 b
    b = 0,1 a + 0,6 b     soit : 0,4 b = 0,1 a
    or : a + b = 1
    0,4 (1 − a) = 0,1 a
    0,4 − 0,4 a = 0,1 a
    0,4 = 0,5 a
    0,8 = a   et donc :   b = 0,2

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