Contrôle du 11 Février 2014

• "la qualité de la rédaction ainsi que la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation de votre devoir"
  • il faut écrire ce que l'on veut faire, expliquer son raisonnement.
• 1) Equation canonique d'une parabole : dont on connaît le sommet (x_S, y_S) = (α, β) et un point (x₀, y₀)
  • Formules littérales : ( parabole y = a x² translatée de (0, 0) à (x_S, y_S) )
    y = a ( x − x_S )² + y_S
    détermination de a : en prenant un point de la parabole (x₀, y₀)
    le point (x₀, y₀) vérifie l'équation de la parabole :
    y₀ = a ( x₀ − x_S )² + y_S
    d'où : a = ( y₀ − y_S ) / ( x₀ − x_S )²
  • application à la courbe de f : sommet (−2, 8) point de la parabole (0, 0)
    sommet en α = −2   et   β = 8 :
    y = a ( x − (−2) )² + 8 = a (x + 2)² + 8
    le point : x₀ = 0 ; y₀ = 0 appartient à la parabole :
    0 = a (0 + 2)² + 8 = 4 a + 8
    a = − 8 / 4 = − 2
    équation sous la forme canonique : f(x) = −2 (x + 2)² + 8
  • application à la courbe de g : sommet (−4, −9) point de la parabole (−1, 0)
    sommet en α = −4   et   β = −9 :
    y = a ( x − (−4) )² − 9 = a (x + 4)² − 9
    le point : x₀ = −1 ; y₀ = 0 appartient à la parabole :
    0 = a (−1 + 4)² − 9 = 9 a − 9
    a = 9 / 9 = 1
    équation sous la forme canonique : g(x) = (x + 4)² − 9
• 2) Equations du second degré :
  p(x) = − x² + 6 x − 9
  q(x) = x² − 2 x − 3
  r(x) = − x⁴ + 8 x³ − 18 x² + 27
  • 2.a) résoudre p(x) = 0
    • − x² + 6 x − 9 = 0
    • a = − 1     b = 6     c = − 9
    • Δ = b² − 4 a c = 6² − 4 (− 1) (− 9) = 36 − 36 = 0
    • x = ( − b − √Δ ) / ( 2 a ) = ( − 6 ) / ( 2 × (− 1) ) = − 6 / (− 2) = 3 (racine double)
    • l'équation p(x) = 0 possède une seule solution : 3 (appelée racine double)
  • 2.a) résoudre q(x) = 0
    • x² − 2 x − 3 = 0
    • a = 1     b = − 2     c = − 3
    • Δ = b² − 4 a c = (− 2)² − 4 (1) (− 3) = 4 + 12 = 16 = 4²
    • x₁ = ( − b − √Δ ) / ( 2 a ) = ( − (− 2) − 4 ) / ( 2 × (1) ) = − 2 / 2 = − 1
    • x₂ = ( − b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( − (− 2) + 4 ) / ( 2 × (1) ) = 6 / 2 = 3
    • l'équation q(x) = 0 possède 2 solutions : −1 et 3
  • 2.b) tableaux de signes de p(x) et q(x) :
    a x² + b x + c est du signe de a en dehors des racines

    x	−∞	−1		3	+∞
    p(x)	−	−	−	0	−
    q(x)	+	0	−	0	+

  • 2.c) forme canonique de q(x) :
    • q(x) = x² − 2 x − 3
    • x² − 2 x est le début du développement de (x−1)²
    • (x−1)² = x² − 2 x + 1
    • x² − 2 x = (x−1)² − 1
    • en remplaçant dans q(x) : q(x) = (x−1)² − 1 − 3
    • soit la forme canonique : q(x) = (x−1)² − 4
    • On pouvait aussi :
      calculer le sommet (x_S = − b / (2 a) ; y_S = − Δ / (4 a))
      puis q(x) = a ( x − x_S )² + y_S
      a = 1   ;   b = −2   ;   c = −3
      Δ = b² − 4 a c = (−2)² − 4 × (1) × (−3) = +4 + 12 = 16
      x_S = − b / (2 a) = − (−2) / (2×1) = 2 / 2 = 1
      y_S = − Δ / (4 a) = − 16 / (4×1)) = − 16 / 4 = −4
      q(x) = a ( x − x_S )² + y_S = ( x − 1 )² − 4
  • montrer que r(x) = p(x) × q(x)
    pour des calculs aussi nombreux, il est préférable de faire un tableau :

    q \ p		− x2	6 x	− 9
    x2		− x4	6 x3	− 9 x2
    − 2 x		+ 2 x3	− 12 x2	+ 18 x
    − 3		+ 3 x2	− 18 x	+ 27

    p(x) q(x) = − x⁴ + 6 x³ + 2 x³ − 9 x² − 12 x² + 3 x² + 18 x − 18 x + 27
    p(x) q(x) = − x⁴ + 8 x³ − 18 x² + 27
    on retrouve bien l'expression de r(x), donc r(x) = p(x) q(x)
  • résoudre r(x) > 0
    ayant démontrer que r(x) est un produit, dont on connaît les signes de chaque terme, nous allons compléter le tableau de signe :

    x	−∞	−1		3	+∞
    p(x)	−	−	−	0	−
    q(x)	+	0	−	0	+
    r(x) = p(x) × q(x)	−	0	+	0	−

    D'après le tableau de signes de r(x) :   r(x) > 0 pour x dans ] −1 ; 3 [
• 3) x + y = 48   et   x y = 432
  • 3.1) exprimer y en fonction de x : d'après la première équation : y = 48 − x
    en remplaçant y dans la seconde équation : x y = x ( 48 − x ) = 432
    en développant : 48 x − x² − 432 = 0
    en ordonnant : − x² + 48 x − 432 = 0
  • 3.2) calculer x et y :
    a = − 1   ;   b = 48   ;   c = − 432
    Δ = b² − 4 a c
    Δ = 48² − 4 (− 1) (− 432)
    Δ = 2304 − 1728 = 576 = 24²
    x = ( − b − √Δ ) / ( 2 a )
    x = ( − 48 − 24 ) / ( 2 × (−1) ) = − 72 / − 2 = + 36
    y ( − b + √Δ ) / ( 2 a )
    y = ( − 48 + 24 ) / ( 2 × (−1) ) = − 24 / − 2 = + 12
    première solution : x = 36 et y = 12
    on peut aussi échanger x et y : x = 12 et y = 36
    vérification de la somme : x + y = 12 + 36 = 48
    vérification du produit : x y = 12 × 36 = 432
  • Remarque : cette propriété des racines des équations du second degré sert à vérifier les racines calculées :
    si :   a x² + b x + c = 0   a pour racines x₁ et x₂
    vérification de la somme : x₁ et x₂ = − b / a
    vérification du produit : x₁ × x₂ = c / a
• 4)
  • 4.1) augmenter une grandeur de 9% revient à la multiplier par ( 1 + 9% ) = ( 1 + 0,09 ) = 1,09
  • 4.2) diminuer une grandeur de 11% revient à la multiplier par ( 1 − 11% ) = ( 1 − 0,11 ) = 0,89
  • 4.3) un objet a un prix TTC de 50 € avec une TVA à 19,6% : quel sont prix HT ?
    définition du prix TTC :   Prix_TTC = Prix_HT ( 1 + taux_TVA )
    d'où :   Prix_HT = Prix_TTC / ( 1 + taux_TVA )
    Ce qui est différent de :   Prix_TTC ( 1 − taux_TVA )
    Prix_HT = 50 / ( 1 + 19,6% ) = 50 / ( 1 + 0,196 ) = 50 / 1,196 = 41,806... ≈ 41,81 ( arrondi par excès )
  • 4.4) une quantité Q augmente de 35% puis diminue de 35% : quelle évolution (en %) a-t-elle finalement subi ?
    Q −−−(+35%)−−−> Q₁ −−−(−35%)−−−> Q₂
    Q₁ = Q ( 1 + 35% ) = Q ( 1 + 0,35 ) = 1,35 Q
    Q₂ = Q₁ ( 1 − 35% ) = Q₁ ( 1 − 0,35 ) = 0,65 Q₁
    en remplaçant Q₁ :   Q₂ = 0,65 Q₁ = 0,65 × 1,35 Q = 0,8775 Q
    soit une réduction de 1 − 0,8775 = 0,1225 = 12,25 %
    la quantité Q a subit une réduction globale de 12,25%
    plus généralement : si l'on augmente de τ puis que l'on diminue de τ :
    Q₂ = ( 1 + τ ) ( 1 − τ ) Q = ( 1 − τ² ) Q
    soit une réduction de τ²
    en effet :   0,35² = 0,1225
  • 4.5) réduction du poids d'un bagage de 20 kg de 6% :
    nouveau poids = 20 ( 1 − 6% ) = 20 ( 1 − 0,06 ) = 20 × 0,94 = 18,8 kg
  • 4.6) Par quelle baisse (en %) peut-on compenser une hausse de 60% ?
    Q −−−(+60%)−−−> Q₁ −−−(τ ?)−−−> Q
    Q₁ = Q ( 1 + 60% ) = Q ( 1 + 0,60 ) = 1,6 Q
    Q = Q₁ ( 1 + τ )
    en remplaçant Q₁ :   Q = 1,6 Q ( 1 + τ )
    d'où :   1 = 1,6 ( 1 + τ )
    1 + τ = 1 / 1,6
    τ = 1 / 1,6 − 1
    en réduisant au même dénominateur : τ = ( 1 − 1,6 ) / 1,6 = − 0,6 / 1,6 = − 6 / 16 = − 3 / 8
    τ = − 0,375 = − 37,5%
    pour compenser une augmentation de 60% , il faut effectuer une réduction de 37,5%
  • 4.7) lors d'un premier match : N billets sont vendus, lors du second match, le nombre de billets vendus augmente de 5%, lors du troisième match, le nombre de billets vendus diminue de 3%. Sachant que le nombre de billets vendus lors du dernier match était 14904, quel nombre de billets a été vendu lors du premier match ?
    N −−−(+5%)−−−> N₁ −−−(−3%)−−−> N₂
    N₁ = N ( 1 + 5% ) = N ( 1 + 0,05 ) = 1,05 N
    N₂ = N₁ ( 1 − 3% ) = N₁ ( 1 − 0,03 ) = 0,97 N₁
    en remplaçant N₁ : N₂ = 0,97 × 1,05 N = 1,0185 N
    N = N₂ / 1,0185 = 14904 / 1,0185 = 14633 billets
    lors du premier match, il a été vendu 14633 billets
• 5) une ville a 10000 habitants en 2005
  • 5.1) première hypothèse de croissance :
    on note U₀ = 10000 la population en 2005
    la population augmente de 500 habitants chaque année
    U_n est la population en (2005 + n)
    • 5.1.a) Quelle est la nature de la suite (U_n) ?
      U_n+1 = U_n + 500
      U_n est une suite arithmétique de raison 500
    • 5.1.b) exprimer U_n en fonction de n
      on demande la formulation explicite de la suite arithmétique :
      U_n = U₀ + n r
      soit ici :   U_n = 10000 + 500 n
    • 5.1.c) en quelle année atteindra-t-elle 20000 habitants ?
      on cherche n tel que U_n = 20000 :
      20000 = 10000 + 500 n
      n = ( 20000 − 10000 ) / 500 = 10000 / 500 = 20
      les 20000 habitants seront atteints en 2005 + 20 = 2025
  • 5.2) deuxième hypothèse de croissance :
    V₀ = 10000 en 2005 augmentation de 4,5% par an
    • 5.2.a) population en 2006 : n = 2006 − 2005 = 1
      coefficient multiplicateur : 1 + taux = 1 + 4,5% = 1 + 0,045 = 1,045
      V₁ = 1,045 V₀ = 10450
      en 2007 : n = 2 et V₂ = 1,045 V₁ = 10920
    • 5.2.b) nature de la suite (V_n) : c'est une suite géométrique de raison 1,045
      formulation explicite de (V_n) : V_n = V₀ qⁿ
      soit, ici : V_n = 10000 × 1,045ⁿ
    • 5.2.c) Population de 2020 ?
      n = 2020 − 2005 = 15
      V₁₅ = 10000 × 1,045¹⁵ = 19353
      La population en 2020 sera de 19353 habitants
    • 5.2.d) Si la population doublait en 15 ans, elle serait de 20000 habitants en 2020
      en 2021, la population sera de 10000 × 1,045¹⁶ = 20224
      ce modèle franchit les 20000 habitants entre 2020 et 2021, ce qui fait moins d'une année d'écart avec la prévision des experts, ce modèle correspond donc avec la prévision des experts.
      Ce modèle est supérieur au modèle arithmétique qui atteindra les 20000 habitants en 2025

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