suites linéaires   [répertoire]
 
suites linéaires : u_n+2 = a u_n+1 + b u_n   connaissant u₀ et u₁
Solutions de la forme : u_n = k xⁿ
k xⁿ⁺² = a k xⁿ⁺¹ + b k xⁿ
en simplifiant par k xⁿ : x² = a x + b
équation associée : x² − a x − b = 0
Δ = a² + 4 b

• si Δ > 0   :   soient x₁ et x₂ les solutions de : x² = a x + b
  forme de (u_n) : u_n = α x₁ⁿ + β x₂ⁿ
  où α et β sont 2 paramètres définis par les 2 conditions initiales.
• si Δ = 0   :   soit x₁ la solution double de : x² = a x + b
  les formes x₁ⁿ et n x₁ⁿ sont solutions
  forme de (u_n) : u_n = x₁ⁿ ( α + β n )
• si Δ < 0
  les racines sont complexes conjuguées : x = (a ± i √−Δ) / 2 = ρ (cos θ ± i sin θ)
  avec : ρ > 0 tel que :
  ρ² = (a² − Δ) / 4
  et θ ∈ [0,2π[ tel que :
  cos θ = a / (2ρ)   et   sin θ = √−Δ / (2ρ)
  forme de (u_n) : u_n = ρⁿ ( α cos(n θ) + β sin(n θ) )
  Comment le retrouver :
  u_n = α' x₁ⁿ + β' x₂ⁿ
  u_n = ρⁿ [ (α' (cos(nθ) + i sin(nθ)) + β' (cos(nθ) − i sin(nθ)) ]
  u_n = ρⁿ [ (α'+ β') cos(nθ) + i (α'− β') sin(nθ) ]
  u_n = ρⁿ [ α cos(nθ) + β sin(nθ) ]
  α et β sont complexes si u₀ et u₁ sont complexes
  α et β sont réels si u₀ et u₁ sont réels

avec les 2 données u₀ et u₁ qui permettent de calculer les paramètres α et β
système de 2 équations (u₀= . . . , u₁= . . . ) à 2 inconnues (α, β)
Suite de Fibonacci : u_n+2 = u_n+1 + u_n
  équation associée : x² − x − 1 = 0
  Δ = 5
  x = (1 ± √5) / 2
  u_n = α [(1+√5)/2]ⁿ + β [(1−√5)/2]ⁿ
  u₀ = α + β
  u₁ = α [(1+√5)/2] + β [(1−√5)/2] = (α + β)/2 + (α − β)√5/2
 
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