Variable Aléatoire Réelle   (répertoire)

• Loi de probabilité de X :
  Loi discrète : tous les couples (valeur possible, probabilité) = (x_i, P(X=x_i)) :
  Loi continue : la fonction f(x) est la densité de probabilité.
  rigoureusement P(X=x) est nulle : 1 chance sur l'infini des valeurs possibles
  Il faut la remplacer par : P(x < X < x+dx) = f(x) dx
  représentation graphique : x en abscisse et y = f(x) en ordonnée
• Loi de répartition de X :   (cumul des probabilités)   P(X ≤ x) = F(x)
  • probabilités discrètes : F(x_n) = ∑_−∞ⁿ P(X=x_i)     (somme de i = −∞ à i = n)
    propriété : ∑_−∞^∞ P(X=x_i) = 1
  • probabilités continues : F(x₀) = ∫_−∞^x₀ f(x) dx     (intégrale de x = −∞ à x = x₀)
    propriété : ∫_−∞^∞ f(x) dx = 1
    F(x₀) est l'aire sous la courbe y = f(x) depuis −∞ jusqu'à x₀
• Espérance = moyenne : E(X) = x = x_moy
  • probabilités discrètes : E(X) = ∑_−∞^∞ x_i P(X=x_i)
  • probabilités continues : E(X) = ∫_−∞^∞ x f(x) dx
• Variance : V(X) = moyenne de (x − x_moy)² = E[(x − E(X))²]
  • C'est l'écart quadratique à la moyenne.     (quadratique = carré)
    écart-type = σ = √V(X)
    la variance, l'écart-type décrivent la dispersion autour de la moyenne.
  • probabilités discrètes : V(X) = ∑_−∞^∞ (x_i − E(X))² P(X=x_i)
  • probabilités continues : V(X) = ∫_−∞^∞ (x − E(X))² f(x) dx
• exemple discret :
  • Loi de Bernoulli B(p)

    x	0	1
    P(X=x)	1 − p	p

  • E(X) = p
    calcul : E(X) = ∑ x_i P(X = x_i)   =   0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1)
    E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p   =   p
  • V(X) = p (1 − p)
    σ = √V(X) = √p (1 − p)
    calcul : V(X) = ∑ (x_i − E(X))² P(X = x_i)   =   (0 − p)² P(X = 0) + (1 − p)² P(X = 1)
    V(X) = p² (1 − p) + (1 − p)² p   =   p (1 − p) [ p + 1 − p ]   =   p (1 − p)
• exemple continu :
  • Loi constante (uniforme) sur l'intervalle [a ; b] : f(x) = h   (h à déterminer pour avoir : Proba totale = 1)
    ∫_−∞^∞ f(x) dx = ∫_a^b h dx = h (b−a) = 1   ⇒   h = 1/(b−a)
    f(x) = 1/(b−a) sur [a ; b] et 0 ailleurs
    P(X < c) avec c ∈ [a ; b] : ∫_−∞^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx = (c−a)/(b−a)

    x	−∞		a		b		+∞
    f(x)	0		1/(b−a)			0
    P(X < x)	constant		↗			constant
    P(X < x)	0		(x−a)/(b−a)			1

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