Loi binomiale   (répertoire)

• Evénements A et B indépendants si : P_A(B) = P_A(B) = P(B)
  • Alors : P(A inter B) = P(A) × P_A(B) devient : P(A inter B) = P(A) × P(B)
  • la probabilité de B ne dépend pas du résultat du premier tirage : A ou A
  • C'est le cas des tirages aléatoires successifs avec remise .
    P_{tirage n}(A) = P(A)   ( constant )
• Bernoulli : Soit p = P(A) = Probabilité de succès
  • P(A) = 1 − P(A) = q = 1 − p
    l'utilisation de "q" fait apparaître la symétrie entre p et (1−p) dans les formules.
    dans les calculs, remplacer q par 1−p pour les simplifications (p+q=1)
  • variable aléatoire de Bernoulli : X = { 0 si échec ; 1 si succès }
    moyenne : m = proba(0) × 0 + proba(1) × 1 = (1−p) × 0 + p × 1 = p
    variance = proba(0) × (0 − m)² + proba(1) × (1 − m)²
                    = (1−p) × (0−p)² + p × (1−p)²
                    = p (1−p)
    écart-type : σ = √variance = √p (1−p)
  • pour une Loi de Bernoulli, quand on connaît p, on connaît σ = √p (1−p)
  • Remarque : La loi de Bernoulli est la "pire" loi de probabilité
    avec une moyenne "p" la plus loin possible des valeurs obtenues "0" ou "1"
    écart-type σ maximal pour p=1/2 : σ=1/2
  • Réalisation du tirage B(p) : dans une urne
    p N jetons "1"
    (1−p) N jetons "0"
      N assez grand pour avoir p N entier
• Loi binomiale(n,p) : n tirages de même loi de Bernoulli B(p) (indépendants)
  • Variable aléatoire X = nombre de succès ∈ [[ 0, n ]]
  • B(3,p) : sur n = 3 tirages :
    • proba(3 succès) = p³
    • proba(3 échecs) = q³ = ( 1 − p )³
    • proba(au moins 1 succès) = 1 − proba(3 échecs) = 1 − ( 1 − p )³
    • proba(2 succès et 1 échec)= 3 p² q = 3 p² ( 1 − p )
      coefficient 3 car 3 manières d'y arriver : échec au 1^er, au 2^ème ou au 3^ème tir.
  • avec un arbre : nombre de cas possibles 2³

    tir 1	tir 2	tir 3	succès	échecs	proba.	p3	p2 q	p q2	q3
    succès	succès	succès	3	0	p3	1
    		échec	2	1	p2 q		1
    	échec	succès	2	1	p2 q		1
    		échec	1	2	p q2			1
    échec	succès	succès	2	1	p2 q		1
    		échec	1	2	p q2			1
    	échec	succès	1	2	p q2			1
    		échec	0	3	q3				1
    (p+q)	×(p+q)	×(p+q)		=		p3	+ 3 p2q	+ 3 p q2	+ q3	= 13 = 1

  • B(3,p) : soit la variable aléatoire : x = nombre de succès sur 3 tirages

    x =	0	1	2	3
    P(x) =	q3	3 p q2	3 p2 q	p3

  • B(4,p) : soit la variable aléatoire : x = nombre de succès sur n = 4 tirages ( 2⁴ cas possibles )

    x =	0	1	2	3	4
    P(x) =	q4	4 p q3	6 p2 q2	4 p3 q	p4

  • Probabilité d'avoir k succès parmi n tirages : P(k, n) = ("k parmi n") p^k q^n−k   avec :
    • p = probabilité d'un succès sur 1 tirage
    • q = probabilité d'un échec sur 1 tirage = 1 − p
    • ("k parmi n") = n! / ( k! × (n−k)! )
    • n! = factorielle(n)   ( exemple : 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 )
    • exemple : ("4 parmi 10") = 10! / ( 4! × 6! ) = 10 × 9 × 8 × 7 / ( 1 × 2 × 3 × 4 ) = 210
      il y a 210 manières d'obtenir 4 succès parmi 10 tirages.
      la probabilité d'obtenir un de ces tirages (4 succès et donc 6 échecs) est p⁴ (1−p)⁶
    • P(4 succès sur 10 tirs) = 210 p⁴ (1−p)⁶
  • variable aléatoire X = nombre de succès parmi n tirages de Bernoulli : X = B(n,p) = ∑ B(1, p)
    nombre moyen de succès : m = ∑ moyennes(Bernoulli) = n p
    variance = ∑ variances(Bernoulli) = n p (1−p)
    écart-type : σ = √variance = √n p (1−p)
  • pour une Loi Binomiale, quand on connaît p et n, on connaît σ = √n p (1−p)
• variable aléatoire X = proportion de succès à n tirages de Bernoulli : X = B(n,p) / n
  • proportion de succès = nombre de succès / n
  • proportion moyenne : m = moyenne(Loi Binomiale) / n = p
  • variance = variance(Loi Binomiale) / n² = p (1−p) / n
  • écart-type : σ = √p (1−p) / n
  • Mais ce n'est ni une loi binomiale, ni une loi normale.
• Loi des grands nombres (pour n "suffisamment" grand)
  • dans une population de loi de probabilité inconnue : mais de moyenne m et d'écart-type σ
    la moyenne d'un échantillon de taille n tend vers la loi normale N(m, σ/√n)
  • Nous pouvons en particulier l'utiliser avec une population qui suit une loi de Bernoulli B(p).
    la proportion de succès dans un échantillon de taille n → N(μ=p, σ=√p (1−p) / n)
• Loi Normale : N(μ, σ)   (quelques valeurs à connaître)
  • propriété : la Loi Normale est symétrique par rapport à μ :
    P(X ≤ μ−α) = P(X ≥ μ+α) = 1 − P(X < μ+α)
    P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5
  • La loi normale étant continue, on peut mettre indifféremment ">" ou "≥"
    car P(X=a) = 0 la probabilité d'obtenir un nombre particulier est nulle
    P(x ≤ X ≤ x+dx) = dP/dx(x) dx → 0 quand dx → 0
    avec la densité de probabilité dP/dx = 1/(σ √2π) exp(−(1/2) [(x−μ)/σ]²)
    on pose Z = (X−μ)/σ pour obtenir une loi Normale centrée réduite N(μ=0, σ=1)
    
  • P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) = 0,6827 ≈ 68 %
  • P(μ − 1,96 σ ≤ X ≤ μ + 1,96 σ) = 0,95 = 95 %
  • P(μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ) = 0,9545 ≈ 95 %
  • P(μ − 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ) = 0,9973

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