Pourcentages   [répertoire]

• notation % : un nombre peut s'écrire de plusieurs manières :
  x = 0,12 = 12% = 12/100
  une augmentation donne un pourcentage > 0
  une diminution donne un pourcentage < 0
• Une grandeur V_initiale augmente de ΔV en valeur absolue :
  V_finale = V_initiale + ΔV
  Delta = Δ = D grec : pour Différence
• La variation relative ou taux d'évolution est : τ = ΔV / V_initiale
  tau = τ = t grec : pour taux (d'intérêt)
  C'est la variation rapportée à la valeur initiale :
  τ = ( V_finale − V_initiale ) / V_initiale
  τ = V_finale / V_initiale − 1
  1 + τ = V_finale / V_initiale
• Le coefficient multiplicateur C = 1 + τ = V_finale / V_initiale
  il permet de passer de la valeur initiale à la valeur finale par une multiplication :
  V_finale = C × V_initiale
  Toujours raisonner avec les coefficients multiplicateurs
  1) convertir les taux en coefficients multiplicateurs
  2) calculer le nouveau coefficient multiplicateur
  3) convertir le coefficient multiplicateur en taux
• applications :
• Deux variations successives de τ₁ et τ₂
  • V₀   →   V₁ = ( 1 + τ₁ ) V₀   →   V₂ = ( 1 + τ₂ ) V₁
    au total : V₂ = ( 1 + τ₂ ) ( 1 + τ₁ ) V₀ = ( 1 + τ ) V₀
  • τ global de variation : C_global = C₁ × C₂
    Les coefficients multiplicateurs se multiplient.
    V₂/V₀ = 1 + τ = ( 1 + τ₁ ) × ( 1 + τ₂ )
  • d'où : τ = ( 1 + τ₁ ) × ( 1 + τ₂ ) − 1
    soit : τ = τ₁ + τ₂ + τ₁ τ₂
    Attention : les taux ne s'ajoutent pas !
    Ajouter un pourcentage : c'est multiplier ! (multiplier par (1 + τ))
    Car le résultat dépend de la valeur initiale.
  • 2 augmentations de 10% : τ = 0,10 + 0,10 + 0,01 = 0,21 = 21%   (≠ 20%)
  • 2 diminutions de 10% : τ = −0,10 − 0,10 + 0,01 = −0,19 = −19%   (≠ 20%)
• Augmentation de 20% (C₁ = 1,20) suivie d'une diminution de 20% (C₂ = 0,80):
  C_global = C₁ × C₂ = (1 + 0,20) × (1 − 0,20) = 1 − 0,04
  τ_global = −4%
  Plus généralement : (+τ₀) suivi de (−τ₀) : τ_global = −τ₀²
• Une augmentation de τ = 100% = 1 : coefficient multiplicateur : C = 1 + τ = 2
  on double la valeur initiale : V_finale = 2 V_initiale
• Une diminution de τ = 100% = 1 : coefficient multiplicateur : C = 1 − τ = 0
  on supprime la valeur initiale : V_finale = 0
• Une diminution de τ = 50% = 1 : coefficient multiplicateur : C = 1 − τ = 0,5
  on divise la valeur initiale par deux : V_finale = V_initiale / 2
  Pour revenir à la valeur initiale : il faut augmenter de 100% (= multiplier par 2)
• une augmentation annuelle de 5% pendant 10 ans :
  Le taux d'évolution sur 10 ans est : 1 + τ = ( 1 + 0,05 )¹⁰
  Soit : τ = ( 1 + 0,05 )¹⁰ − 1 = 0,63 = 63%
• Une augmentation de τ₁ est neutralisée par une augmentation de τ₂ :
  C_global = C₁ × C₂ = 1
  C₂ = 1 / C₁
  1 + τ₂ = 1 / (1 + τ₁)
  τ₂ = 1 / (1 + τ₁) − 1
  τ₂ = −τ₁ / (1 + τ₁)

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