Les nombres fractionnaires (rationels) (l'ensemble ℚ)
Ils sont définis par la division (ou le Quotient) de 2 entiers ( p / q ) avec q ≠ 0
avec p et q premiers entre eux pour avoir la forme la plus simple.

• Propriétés de la multiplication :
  1. Définition de la multiplication : une addition répétée

     n × m =	m + m + . . . + m
     	<--- n termes --->

  2. Propiétés de la multiplication (distributivité) :

     n × ( m + p ) =	( m + p ) + ( m + p ) + ... + ( m + p )			=	m + m + . . . + m	+	p + p + . . . + p
     	<---	n termes	--->		<--- n termes --->		<--- n termes --->
     n × ( m + p )				=	n × m	+	n × p

     Dans l'autre sens : n × m + n × p = n × ( m + p )   cela s'appelle la factorisation.
  3. Elément neutre 1 (pour la multiplication) : n × 1 = n

     n × 1 =	1 + 1 + . . . + 1	= n
     	<--- n termes --->

  4. Multiplication par 0 : n × 0 = 0

     n × 0 =	0 + 0 + . . . + 0	= 0   ( Quel que soit n )
     	<--- n termes --->

      
• Les nombres fractionnaires (ou Quotients) : ℚ. Ils sont définis par la multiplication :
  1. inverse a' de a : solution de l'équation a × a' = 1
  2. On note l'inverse a' de a : a' = 1/a
     remarque : l'élément 0 n'a pas d'inverse.
  3. La division est la multiplication par l'inverse :
     a / a = a × (1/a) = 1
     b / a = b × (1/a)
      
• Pour résoudre l'équation x × a = b : on multiplie par l'inverse (1/a) de a chaque membre de l'équation.

  x	× a	= b
  x	× a × (1/a)	= b × (1/a)
  x	× 1	= b / a
  x		= b / a

  "a" est passé de l'autre côté du signe "=" en passant du haut en bas : il est devenu (1/a)
   
• propriétés :
  somme : a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)
  produit : (a/c) × (c/d) = (ac)/(bd)
  égalité de 2 fractions : a/b = c/d = k
  en multipliant par bd : a d = b c   (produit en croix)
    alors : a = k b et c = k d
    xa + yc = x k b + y k d = k (xb+yd)
  d'où : k = a/b = c/d = (xa+yc)/(xb+yd)   ∀ x, y tels que (xb+yd) ≠ 0

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