Les nombres complexes

• cours vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=vOLZ8wLWIbY
   
• motivation pour définir l'ensemble ℂ des nombres complexes :
  solution des équations du type : x² + 1 = 0
  comme il n'y a pas de solution dans ℝ, on baptise un nombre i tel que i² = −1
  remarque : on avait déjà utilisé cette méthode pour définir les racines carrées : √2 est tel que (√2)² = 2 et √2 > 0
    mais il y avait alors une racine carrée par nombre.
  avec la seule racine carrée i de −1, on découvre une nouvelle dimension :
  l'interprétation graphique d'un nombre complexe z = x + i y est un vecteur du plan d'axes ℝ et 𝕀
  Tout polynôme de degré n possède n racines dans ℂ, qui peuvent être multiples.
   
• formulations :
  cartésienne / algébrique : z = x + i y
    utile pour les additions : (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)
  Avec l'angle α entre l'axe ℝ et OM(z) :
  polaire / trigonométrique : z = r ( cos(α) + i sin(α) )
  exponentielle : z = r e^{i α}
    utile pour les multiplications, puissances : a e^{i b} × c e^{i d} = a c e^{i (b+d)}
  la relation : e^{i α} = cos(α) + i sin(α)   s'appelle la relation de Moivre.
  (r e^{i α})ⁿ = rⁿ e^{i n α}
  en particulier : i = e^{i π/2}   ;   −1 = e^{i π}   et   e^{i 2 π} = e⁰ = 1
  le produit par i = rotation de +π/2
  Ne pas oublier : l'argument α est défini modulo 2π
   
• module, conjugaison :
  z = x + i y : module |z| = √x² + y²
  z = |z| e^{i α}
  on obtient le module |z| en multipliant par l'expression conjuguée : en changeant tous les i en (−i)
  |z|² = z z = x² + y²
  avec z = x − i y
  interprétation du conjugué : symétrique par rapport à l'axe ℝ
   
• Les n racines n^ième de l'unité : zⁿ = 1
  e^{i k 2π/n}   avec k ∈ [[ 0 ; n−1 ]]
  racines cubiques de l'unité : e^{i k 2π/3}
  { 1, j, j² } = { 1, −1/2 + i √3/2, −1/2 + i √3/2 }
   
• retrouver les formules trigo. :
  en developpant : e^{i (α₁ + α₂)} = e^{i α₁} × e^{i α₂}
  cos(α₁ + α₂) + i sin(α₁ + α₂) = [cos(α₁) + i sin(α₁)] × [cos(α₂) + i sin(α₂)]
  . . . = cos(α₁) cos(α₂) − sin(α₁) sin(α₂) + i [cos(α₁) sin(α₂) + sin(α₁) cos(α₂)]
  en identifiants les parties réelles :
  cos(α₁ + α₂) = cos(α₁) cos(α₂) − sin(α₁) sin(α₂)
  en identifiant les parties imaginaires :
  sin(α₁ + α₂) = cos(α₁) sin(α₂) + sin(α₁) cos(α₂)
   
• application :
  z = (a + ib) / (c + id)
  on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée du dénominateur : (c − id)
  z = [(a + ib)(c − id)] / [(c + id)(c − id)] = [(ac + bd) + i(bc − ad)] / [c² + d²]
  z = (a − ib) / (c − id)
  |z|² = (a² + b²) / (c² + d²)
  le module d'un quotient = quotient des modules
  l'argument d'un quotient = différence des arguments
   
• Python : utilise j (au lieu de i) accolé à un nombre
  z = (-7 + 22j) / (4 + 5j)
  print(z) : (2+3.0j)
  partie réelle : z.real ; partie imaginaire : z.imag
  conjugué : z.conjugate() : (2-3.0j)
  module : abs(z)
  import cmath
  argument : cmath.phase(z)   ou   math.atan2(z.imag, z.real)
  permet de vérifier les résultats des exercices sur les complexes
  pour les fonctions sqrt, exp, log, sin . . . appliquées aux nombres complexes :
  utiliser les fonctions du package cmath
   

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