Fiche sur les limites   [répertoire]

• règle générale pour une fonction continue : limite quand x → a de f(x) = f(a)
  • limite d'une somme = somme des limites
  • limite d'un produit = produit des limites
  • signe de la limite d'un produit : produit des signes.
• limites avec l'infini à connaître :

  ∞ + ∞ = ∞

  1 / 0 = ∞

  1 / ∞ = 0

  (0 < a < 1) : a∞ = 0

  (a > 1) : a∞ = +∞

• limites de formes indéterminées à connaître : pour x → +∞
  Croissances comparées à l'infini : ln(x) ≪ x^α ≪ a^x   ( quels que soient α > 0 et a > 1 )
  cas particuliers : ln(x) ≪ x^1/2 = √x ≪ x ≪ x² ≪ e^x

  ln(x) / x → 0

  x / ex → 0

  x / ln(x) → ∞

  ex / x → ∞

• formes indéterminées à résoudre pour x → ∞ :
  mise en facteur du terme de plus haut degré ( de plus grande croissance )

  		exemples (avec x→+∞)			levée de l'indétermination
  addition	∞ − ∞	x2 − x			x2 ( 1 − 1 / x ) = ∞ × 1
  multiplication	0 × ∞		( x2 + x ) ( x2 + 2 )	=		1 − 1 / x 1 − 2 / x2	= 1
  	0 / 0
  	∞ / ∞
  exponentielle	1∞
  	∞0	x1/x			ln(x1/x) = ln(x)/x = 0			x1/x → 1

• Changement de variable : y = − x
  limite quand x → −∞ de f(x)   =   limite quand y → +∞ de f(−y)
  exemple : limite x e^x (x → −∞) = limite − y e^{− y} (y → +∞) = limite − y / e^y = 0
• Changement de variable : y = 1 / x
  limite quand x → 0⁺ de f(x)   =   limite quand y → +∞ de f(1/y)
  exemple : limite x ln(x) (x → 0⁺) = limite ln(1/y) / y (y → +∞) = limite − ln(y) / y = 0
• produit par le binôme conjugué : pour faire disparaître des racines
  rappel : (a − b) × (a + b) = a² − b²
  1 / ( √3 − √2 ) = ( √3 + √2 ) / ( 3 − 2 ) = ( √3 + √2 )
  exemple x → +∞ : √ x + 1 − √ x − 1 → ∞ − ∞   (indéterminé)
  levée de l'indétermination :
  √ x + 1 − √ x − 1 = [ ( √ x + 1 − √ x − 1 ) × ( √ x + 1 + √ x − 1 ) ] / ( √ x + 1 + √ x − 1 )
  √ x + 1 − √ x − 1 = [ (x + 1) − (x − 1) ] / ( √ x + 1 + √ x − 1 ) = 2 / ( √ x + 1 + √ x − 1 ) → 2 / ∞ = 0
• règle de l'Hospital :
  si limite de f(x) / g(x) est une forme indéterminée de la forme 0 / 0 ou ∞ / ∞
  alors limite de f(x) / g(x) = limite de f '(x) / g '(x)
  exemple : limite (x → +∞) ln(x + 1) / ln(x) = limite x / (x + 1) = 1

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