Second degré [répertoire]

• 3 formulations d'une fonction du second degré : a≠0, b, c sont des constantes réelles.
• forme développée : f(x) = ax² + bx + c   (pour calculer f(x))
  nombre remarquable : Discriminant Δ = b² − 4ac
   
• forme canonique : f(x) = a (x − x_s)² + y_s   (pour étudier f(x))
  avec S=(x_s, y_s) le sommet de la parabole
  x_s = −b/(2a) et y_s = −Δ/(4a)
  La forme de la parabole est donnée par le coefficient "a"
  (x_s, y_s) est la translation de la parabole y = a x²
  en posant X = x − x_s et Y = y − y_s : l'équation y = f(x) devient Y = a X²
  
  forme canonique test
   
• forme factorisée : f(x) = a (x − x₁) (x − x₂)   (pour résoudre f(x)=0)
  possible seulement si Δ = b² − 4ac ≥ 0
  racines :
  x₁ = (−b − √Δ) / (2a)
  x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
  si Δ = 0 : x₁ = x₂ = x_s et f(x) = a (x − x_s)²
   
• développement de la formule factorisée :
  f(x) = a (x² − (x₁+x₂)x + x₁x₂)
  en notant la somme : S = x₁ + x₂
  en notant le produit : P = x₁ x₂
  f(x) = a (x² − S x + P)
  somme des racines : x₁ + x₂ = −b/a
  produit des racines : x₁ x₂ = c/a
   
• courbe C_f de f(x) :
  dérivée : f '(x) = 2 a x + b = 2a (x − x_s)
  les 2 points à l'infini de f(x) : quand x → ±∞
  limite de f(x) = limite de x² (a + b/x + c/x²) = limite de a x² = signe(a) × ∞
  Si a > 0 :

  x	−∞		xs		+∞
  signe(f '(x))	−		0	+
  variation de f(x)	+∞	décroissante ↘	min ys	croissante ↗	+∞

  Si a < 0 :

  x	−∞		xs		+∞
  signe(f '(x))	+		0	−
  variation de f(x)	−∞	croissante ↗	ys max	décroissante ↘	−∞

  second degré test
  
• Signe de f(x) = a x² + b x + c :
  f(x) est du signe de "a" à l'extérieur des racines et quand il n'y a pas de racine
  en effet près des infinis : le terme a x² l'emporte sur les autres
  f(x) = x² ( a + b/x + c/x² )   →   x² ( a + 0 + 0 ) = a x²
  les termes divisés par x tendent vers 0 ≪ a
  près des infinis : f(x) est du signe de a x² qui est du signe de a
  f(x) change de signe quand x franchit les racines
  tableau de signe (selon les valeurs de x) : calculer les 2 racines
  f(x) = a ( x − x₁ ) ( x − x₂ )
  en supposant : x₁ < x₂ :

  x	−∞		x1		x2		+∞
  signe(a)	signe(a)			signe(a)		signe(a)
  signe(x−x1)	−		0	+	+	+
  signe(x−x2)	−		−	−	0	+
  signe(f(x))	signe(a)		0	signe(−a)	0	signe(a)

  second degré test

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