Etude de fonction [répertoire] Liste des points à traiter pour l'étude d'une fonction f(x) :
Domaine de définition : intervalle de x pour lequel f(x) est définie.
Exclure les valeurs de x interdites :
* division par 0
( ex.: Domaine de définition de f(x)=1/x :
R − {0} )
* √ d'une expression < 0
( ex.: Domaine de définition de f(x)=√x :
[0 ; +∞[ )
* logarithme d'une expression ≤ 0
( ex.: Domaine de définition de f(x)=ln x :
]0 ; +∞[ )
Parité, imparité de la fonction.
fonction paire si f(−x) = + f(x)
( ex.: f(x)=x2 est paire car : (−x)2 = x2 )
symétrique par rapport à l'axe Oy
fonction impaire si f(−x) = − f(x)
( ex.: f(x)=1/x est impaire car : 1/(−x) = − 1/x )
symétrique par rapport à l'origine
Sens de variation
calculer la dérivée f '(x)
cours sur les dérivées ex.: f(x) = 1 / (x2+1) ⇒ dérivée de f(x) : f '(x) = −2x / (x2+1)2
faire son tableau de signe
factoriser la dérivée pour appliquer la règle des signes.
mettre les sommes de fractions au même dénominateur.
ex. : f '(x) = x4 − 4 x3 + 3 x2 = x2 (x − 1) (x −3)
x = a verticale pour les divisions par 0 : y → ± ∞
( ex.: f(x) = 1 / (x − a) )
y = a x + b horizontale (a=0) ou oblique (a≠0) : quand x → ± ∞
La fonction se rapproche indéfiniment de l'asymptote :
quand x → ∞ : limite de f(x) − ( a x + b ) = 0
ex. : f(x)= (a x3 + b x2 + x + 1) / x2 = a x + b + 1/x + 1/x2 → a x + b + 0 + 0
Tracé de la courbe représentative
porter les points particuliers (minima, maxima avec leur tangente horizontale)
tracer les asymptotes
tracer la courbe
vérification des calculs :
tracer la fonction sur la calculatrice, ses asymptotes
position des sommets, sens de variation.
tracer la dérivée sur la calculatrice
intersections avec l'axe Ox