La fonction "logarithme"
La fonction logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle.
L'inverse de l'exponentielle à base 10 (10x) est le logarithme à base 10 (log10).
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exp10 |
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log (ou log10) |
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en remplaçant y |
en remplaçant x |
| x |
→→→ |
y = 10x |
→→→ |
x = log(y) |
log(10x) = x |
10log(y) = y |
| 0 |
→→→ |
y = 100 = 1 |
→→→ |
x = log(1) |
log(1) = 0 |
100 = 1 |
| 1 |
→→→ |
y = 101 = 10 |
→→→ |
x = log(10) |
log(10) = 1 |
101 = 10 |
Donc : ..., log10(1/1000) = log10(10−3) = −3 log10(10) = −3,
log10(1/100) = −2,
log10(1/10) = −1,
log10(1) = 0,
log10(10) = 1,
log10(100) = 2,
log10(1000) = 3, ...
L'inverse de l'exponentielle naturelle est le logarithme néperien noté ln(x) .
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exp |
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ln |
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en remplaçant y |
en remplaçant x |
| x |
→→→ |
y = exp(x) = ex |
→→→ |
x = ln(y) |
ln(ex) = x |
eln(y) = y |
| 0 |
→→→ |
y = exp(0) = e0 = 1 |
→→→ |
x = ln(1) |
ln(1) = 0 |
e0 = 1 |
| 1 |
→→→ |
y = exp(1) = e1 = e |
→→→ |
x = ln(e) |
ln(e) = 1 |
e1 = e |
Les propriétés des logarithmes sont les "inverses" de celles des exponentielles.
e0 = 1 ln(1) = 0
e1 = e ln(e) = 1
Partons de la propriété : ea+b = ea × eb .
prenons le logarithme de chaque membre :
ln( ea × eb ) = ln( ea+b ) =
a + b = ln( ea ) + ln( eb )
Si on remplace ea par u et eb par v :
ln(u×v) = ln(u) + ln(v)
→ La fonction logarithme transforme un produit en somme.
ln(ab) = ln(a×...×a) = ln(a)+ ... + ln(a) = b × ln(a)
→ La fonction logarithme transforme une puissance en produit.
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