Conversions : log₁₀(x) ↔ ln(x)   et   10^x ↔ exp(x) = e^x

• Rappels : ln( ) et exp( ) sont des fonctions réciproques l'une de l'autre
  de même que log₁₀( ) et 10^{( )}
  x →→(ln)→→ ln(x) →→(exp)→→ e^ln(x) = x
  aussi : ln(e^x) = x
  x →→(log₁₀)→→ log₁₀(x) →→(10^{( )})→→ = 10^log₁₀(x) = x
  aussi : log₁₀(10^x) = x
   
• Relations entre 10^x et e^x :

  ln(ex) = eln(x) = x   10 = eln(10)   ⇒ 10x = [eln(10)]x = ex ln(10)

  log10(10x) = 10log10(x) = x  10log10(e) = e  ⇒ ex = (10log10(e))x = 10x log10(e)

  • ou bien :

  y = 10x  ⇒ ln(y) = ln(10x) = x ln(10)  ⇒ eln(y) = y = 10x = ex ln(10)

  y = ex  ⇒ log10(y) = log10(ex) = x log10(e)  ⇒ 10log10(y) = y = ex = 10x log10(e)

  
   Dérivée : (e^u)' = u' e^u
   Dérivée : (10^u)' = [e^{u ln(10)}]' = u' ln(10) e^{u ln(10)} = ln(10) × u' 10^u
   
• Relations entre log₁₀(x) et ln(x) :

  y = log10(x)  ⇒ 10y = 10log10(x) = x  ⇒ ln(10u) = u ln(10) = ln(x)  ⇒ y = log10(x) = ln(x) / ln(10)  ⇒ log10(e) = ln(e) / ln(10) = 1 / ln(10)

  y = ln(x)  ⇒ ey = eln(x) = x  ⇒ log10(ey) = y log10(e) = log10(x)  ⇒ y = ln(x) = log10(x) / log10(e)  ⇒ ln(10) = log10(10) / log10(e) = 1 / log10(e)

  
  Dérivée : [ln(u)]' = u' / u
  Dérivée : [log₁₀(u)]' = u' / [ u ln(10) ]