Systèmes d'équations linéaires 3d
3 Equations avec 3 inconnues (x, y, z) : ( ∼ intersection de 3 plans )
a₁ x + b₁ y + c₁ z = d₁   (Eq.1)
a₂ x + b₂ y + c₂ z = d₂   (Eq.2)
a₃ x + b₃ y + c₃ z = d₃   (Eq.3)

• Méthode de combinaison : Triangularisation de Gauss.
  On élimine x entre la 1^ère équation et les suivantes.

  Eq.1

  a1

  x

  +

  b1

  y

  +

  c1

  z

  =

  d1

  | × (+a2)

  Eq.2

  a2

  x

  +

  b2

  y

  +

  c2

  z

  =

  d2

  | × (−a1)

  Ce qui donne :

  Eq.1		a1a2	x	+	b1a2	y	+	c1a2	z	=	d1a2
  Eq.2		−a2a1	x	+	−b2a1	y	+	−c2a1	z	=	−d2a1
  Eq.2bis					(b1a2 − b2a1)	y	+	(c1a2 − c2a1)	z	=	d1a2 − d2a1
  De même on obtient :
  Eq.3bis					(b1a3 − b3a1)	y	+	(c1a3 − c3a1)	z	=	d1a3 − d3a1

  Il reste à éliminer y entre ces 2 équations.
• Méthode des déterminants :
  • Soit A = ( A₁ , A₂, A₃ ) avec :

    A1 =

    ( a1 )

    A2 =

    ( b1 )

    A3 =

    ( c1 )

    D =

    ( d1 )

    X =

    ( x )

    ( a2 )

    ( b2 )

    ( c2 )

    ( d2 )

    ( y )

    ( a3 )

    ( b3 )

    ( c3 )

    ( d3 )

    ( z )

  • Le système devient : A X = D
  • x = Déterminant( D, A₂, A₃ ) / Déterminant( A₁ , A₂, A₃ )
  • y = Déterminant( A₁, D, A₃ ) / Déterminant( A₁ , A₂, A₃ )
  • z = Déterminant( A₁, A₂, D ) / Déterminant( A₁ , A₂, A₃ )
  • avec : Déterminant( A₁ , A₂, A₃ ) = a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ − a₃b₂c₁ − a₁b₃c₂ − a₂b₁c₃
  • Cas particuliers : Déterminant( A₁ , A₂ , A₃ ) = 0 : 3 cas possibles
    interprétation : les 3 plans sont parallèles à une même droite. Le système équivaut à un problème 2D avec 3 droites
    • Déterminant( D, A₂ , A₃ ) ≠ 0 : système incompatible : 0 solution
      • soit : les 3 plans se coupent en 3 droites parallèles différentes.
      • soit : 2 plans sont parallèles ( se coupent à l'infini ), coupés par le troisième.
    • Déterminant( D, A₂ , A₃ ) = 0 : une des équations est une combinaison linéaire des 2 autres.
      • soit : les 3 plans se coupent selon une même droite. solution : 1 droite
      • soit : les 3 plans sont parallèles. ( les sous-déterminants 2×2 de A sont nuls mais pas ceux de A_iD )
      • soit : les 3 plans sont confondus. solution : 1 plan ( tous les sous-déterminants 2×2 sont nuls )
        les 3 équations sont proportionnelles donc représentent le même plan.

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