• Description de la méthode :
  • On multiplie chaque équation par le coefficient approprié pour éliminer une des inconnues (voir ci-après).
  • On additionne les 2 équations.
  • Une des 2 inconnues x ou y a alors un coefficient nul.
  • On a maintenant 1 équation pour 1 inconnue :
• Application de la méthode :

  Système à résoudre				| Coefficients pour | l'élimination de x	| Coefficients pour | l'élimination de y
  2 x	+ 3 y	= 31		| × (− 3)	| × (+ 2)
  3 x	− 2 y	= 1		| × (+ 2)	| × (+ 3)

  Suppression de x				Suppression de y
  − 6 x	− 9 y	= − 93		+ 4 x	+ 6 y	= 62
  + 6 x	− 4 y	= 2		+ 9 x	− 6 y	= 3
  	− 13 y	= − 91		+ 13 x		= + 65
  	y	= (−91)/(−13)		x		= 65/13
  	y	= 7		x		= 5

• Vérification :

  2 × 5 + 3 × 7	= 10 + 21	= 31	OK
  3 × 5 − 2 × 7	= 15 − 14	= 1	OK

• On exprime une des 2 variables en fonction de l'autre. Ici c'est le x de la première équation qui a le coefficient le plus simple : +2
  On exprime donc x en fonction de y. On le remplace par la fonction trouvée dans l'autre équation.
  On obtient 1 équation à 1 inconnue.

  Système à résoudre				Elimination de x
  2 x	+ 3 y	= 31		2 x = 31 − 3 y	⇒   x = 31/2 − 3y/2
  3 x	− 2 y	= 1

• En remplaçant x par ( 31/2 − 3y/2 ) dans l'autre équation : on obtient 1 équation à 1 inconnue.
  3 × ( 31/2 − 3y/2 ) − 2 y = 1
  93/2 − 9y/2 − 2 y = 1
  En multipliant par 2 les 2 membres de l'équations pour se débarrasser des fractions :
  93 − 9y − 4 y = 2
  − 13 y = − 91   →   y = (−91)/(−13) = 7
  D'où x d'après son expression en fonction de y : x = 31/2 − 3y/2
  x = 31/2 − 3×7/2 = 31/2 − 21/2 = (31 − 21)/2 = 10 / 2 = 5

Interprétation des cas particuliers

• Le système a-t-il une solution ? on calcule le déterminant du système : (coefficients a, b, c, d ≠ 0)
  a x + b y = e
  c x + d y = f
  déterminant = a d − b c Si le déterminant ≠ 0 : le système a une solution (et une seule) : les 2 droites se coupent.
  sinon, voir les 2 cas suivants : a d − b c = 0   ⇔   a d = b c   ⇒   a / c = b / d (les coefficients de x et y sont proportionnels)
• Si a / c = b / d ≠ e / f : Les 2 droites sont parallèles : il n'y a pas de solution au système : ∅
  Ce qui se traduira dans les calculs par un point à l'infini (0 x = 2 : une division par 0).
• Si a / c = b / d = e / f : Les 2 droites sont confondues : toute la droite est solution du système.
  La seconde équation est la même que la première, multipliée par un coefficient.
  Ce qui se traduira dans les calculs par 0 x = 0 : toutes les valeurs de x sont bonnes.
  y est ensuite déduit de x par l'équation de la droite : solution (x∈R, y=(e − ax) / b).