Cercles (en dimension 2) [répertoire]

• un cercle (C) de centre Ω(a, b) et de rayon R
  est l'ensemble des points M(x,y) tels que la distance ΩM = R
  • ou encore : ΩM² = R²
    forme canonique : (x − a)² + (y − b)² = R²

    forme développée :	x2 + y2	− 2 a x	− 2 b y	+	a2 + b2 − R2	= 0
    exemple :	x2 + y2	+ 10 x	− 14 y	+	38	= 0

    égalité des termes en x (∀ x) :	10 x = −2 a x	⇒	a = −5
    égalité des termes en y (∀ y) :	−14 y = −2 b y	⇒	b = 7
    le centre du cercle est le point Ω(−5, 7)
    égalité des termes constants :	38 = a2 + b2 − R2	⇒	R2 = a2 + b2 − 38	= 25 + 49 − 38 = 36
    d'où : le rayon du cercle est R = 6

  • Remarque : on pourrait trouver R² < 0 : Dans ce cas ce n'est pas l'équation d'un cercle réel.
• intersection d'un cercle et d'une droite :
  • (D) : y = a x + b
  • (C) : x² + y² + α x + β y + γ = 0
  • en substituant y de (D) dans l'équation (C) du cercle,
    on obtient une équation du second degré :
    x² + (a x + b)² + α x + β (a x + b) + γ = 0
    x² + a²x² + 2 a b x + b² + α x + β a x + β b + γ = 0
    (1 + a²) x² + (2 a b + α + β a) x + b² + β b + γ = 0
    trinôme de la forme : A x² + B x + C = 0 que l'on sait résoudre.
    → voir équation du 2^ème degré
• intersection de 2 cercles :
  • les coordonnées des points d'intersection vérifient les équations des 2 cercles :
    (C₁) : x² + y² + α₁ x + β₁ y + γ₁ = 0
    (C₂) : x² + y² + α₂ x + β₂ y + γ₂ = 0
    par soustraction :
    droite reliant les 2 points d'intersection : (α₁ − α₂) x + (β₁ − β₂) y + (γ₁ − γ₂) = 0
    Nous sommes ramenés à l'intersection d'une droite avec un cercle (n'importe lequel des deux)
  • méthode de substitution : on exprime y en fonction de x que l'on remplace dans une des 2 équations
    on obtient une équation du second degré en x avec 2 solutions en x
    on utilise l'expression de y pour trouver les ordonnées des 2 points d'intersection.
  • remarque : les cercles se coupent uniquement si : |R₁ − R₂| ≤ Ω₁Ω₂ ≤ |R₁ + R₂|

retour aux menus :   équations   math   accueil  
file:///home/jacques/Dropbox/