f '(x) = limh→0 ( f(x+h) − f(x) ) / h
Interprétation géométrique : la dérivée est la pente de la tangente à la courbe représentant f(x) au point A ( x=a, y=f(a) )
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Alors que la tangente reste du même côté de la courbe : elle ne fait que toucher la courbe au point ( x, y=f(x) ) et repart du même côté.
(La tangente traverse les courbes seulement aux points d'inflexion, comme en x=0 de la fonction y=x3)
Si l'on trace la droite passant par les 2 points A=( x, y=f(x) ) et B=( x+h, y=f(x+h) ), c'est une sécante de la courbe.
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Si on fait tendre h vers 0, la droite se rapproche de la tangente.
La pente de cette droite est a = (yB − yA) / (xB − xA) = Δy / Δx
En remplaçant
- xA = x
- yA = f(x)
- xB = x+h
- yB = f(x+h)
la limite de a quand h → 0 est donc la pente de la tangente en x.
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Dérivée de f(x) = b : lim ( f(x+h) − f(x) ) / h = lim ( b − b ) / h = 0 / h = 0
f(x) = b --------> f '(x) = 0 -
Dérivée de f(x) = a x + b :
On sait que c'est une droite dont la pente est a en tous points.
On doit donc trouver que la dérivée de ( a x + b ) est a
( f(x+h) − f(x) ) / h = [ ( a (x+h) + b ) − ( a x + b ) ] / h = a h / h = a
Même sans que h tende vers 0, la pente des sécantes est a
car les sécantes et les tangentes sont confondues avec la droite.
f(x) = a x + b --------> f '(x) = a -
Dérivée de f(x) = x2 :
f(x+h) = (x+h)2 = x2 + 2 h x + h2
lim ( f(x+h) − f(x) ) / h = lim ( x2 + 2 h x + h2 − x2 ) / h = lim ( 2 h x + h2 ) / h = [ h ( 2 x + h ) ] / h = 2 x + h → 2 x
f(x) = x2 --------> f '(x) = 2 x
Application : Calcul de dérivées usuelles
f(x) = x3 --------> f '(x) = 3 x2
f(x) = 1 / x = x−1 --------> f '(x) = −1 x−2 = − 1 / x2
f(x) = √ x = x1/2 --------> f '(x) = (1/2)x−1/2 = 1 / (2 √ x )
| (f(x)+g(x))' = f '(x) + g '(x) | ou : (u+v)' = u' + v' |
| (f(x)×g(x))' = f '(x)×g(x) + f(x)×g '(x) | ou : (u v)' = u' v + u v' |
| (fog(x))' = (f(g(x))' = f '(g(x)) × g '(x) | ou : (f(u))' = f '(u) × u' |