Dérivées

• La dérivée f '(x) d'une fonction f(x) au point A (x_A = a ; y_A = f(a)) de sa courbe (C) est :
  le coefficient directeur (pente) de la tangente à la courbe en ce point A.
• L'équation de cette tangente est : y = (x − a) f '(a) + f(a)
  obtenue en appliquant la définition de la pente : f '(a) = Δy / Δx = (y − f(a)) / (x − a)
  le point A (a, f(a)) vérifie bien l'équation de la tangente : f(a) = (a − a) f '(a) + f(a)
  remarque : on note aussi la dérivée : f ' = df / dx
• Cas très simples :
  • La tangente en un point d'une droite est la droite elle-même.
  • La droite f(x) = 2 est horizontale, sa pente est 0 en tous points. Donc f '(x) = 0
  • La droite f(x) = x : sa pente est +1 en tous points. Donc f '(x) = +1
  • La droite f(x) = ax+b : sa pente est a en tous points. Donc f '(x) = a
  • La parabole f(x) = x² a comme dérivée f '(x) = 2x
  • dérivée de f(x) = xⁿ : f '(x) = n x^{(n − 1)}
• Rappels :
  • x⁽⁻ⁿ⁾ = 1 / xⁿ
  • x^(1/n) = racine n^ième de x (= ⁿ√x)
• Questions (arrêter la souris sur "réponse" pour voir la réponse)
  • Quelle est la dérivée de la parabole f(x) = x² au point d'abscisse 1     réponse
  • Quelle est l'équation de sa tangente à la courbe en ce point ?     indice     réponse
    ( on peut tracer la courbe et la droite pour vérifier).
  • Quelle est sa dérivée au point d'abscisse a     réponse
  • Quelle est l'équation de sa tangente à la courbe en ce point ?     indice     réponse
  • Quelle est la dérivée de f(x) = 1 / x ? réponse
  • Quelle est la dérivée de f(x) = sqrt(x) = √x ? réponse

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