Dissolution d'un acide dans l'eau ( sans approximation )

• Données du problème :
  • Nous versons n₀ moles d'acide AH dans un volume V d'eau H₂O
  • L'acide AH se décompose en une base A⁻ et un ion oxonium H₃O⁺ : AH ↔ A⁻ + H₃O⁺
  • le K_A de l'acide est K_A = [ A⁻ ] × [ H₃O⁺ ] / [ AH ]     ( par définition )
    qui peut aussi s'écrire (en prenant −log de l'équation) : pK_A = pH − log ( [ A⁻ ] / [ AH ] )
  • le K_e de l'eau est K_e = [ OH⁻ ] × [ H₃O⁺ ]
    Dans les "Conditions ambiantes de température et de pression" ( T = 25°C, p = 1 bar ) : K_e = 10⁻¹⁴
• La concentration initiale en AH est C₀ = n₀ / V
  • on considère que le volume ne change pas
• Equations de conservation :
  • des atomes A : C₀ = [ AH ] + [ A⁻ ]
  • des charges électriques : [ H₃O⁺ ] = [ A⁻ ] + [ OH⁻ ]     ( dont la somme est toujours nulle )
• Résolution du sytème de 4 équations aux 4 inconnues : [ AH ], [ A⁻ ], [ H₃O⁺ ], [ OH⁻ ]
  • on pose : x = [ H₃O⁺ ]
  • élimination des [ OH⁻ ] par utilisation de la relation K_e : [ OH⁻ ] = K_e / x
  • élimination des [ AH ] par utilisation de la relation K_A : [ AH ] = [ A⁻ ] × x / K_A
  • remplacement dans la relation C₀ pour extraire [ A⁻ ] : C₀ = [ A⁻ ] × x / K_A + [ A⁻ ]
    d'où : [ A⁻ ] = C₀ / ( 1 + x / K_A )
  • remplacement dans la relation de conservation des charges : x = C₀ / ( 1 + x / K_A ) + K_e / x
  • en multiplant par ( 1 + x / K_A ) × x :
    x² ( 1 + x / K_A ) = C₀ x + K_e ( 1 + x / K_A )

    Soit :

    x3 KA

    + x2 − x ( C0 +

    Ke KA

    ) − Ke = 0

• Trouver C₀ tel que [ AH ] = [ A⁻ ]
  • alors pK_A = pH soit x = K_A
  • L'équation en x devient : K_A³ / K_A + K_A² − K_A ( C₀ + K_e / K_A ) − K_e = 0
  • 2 K_A² − K_A C₀ − 2 K_e = 0
  • C₀ = 2 ( K_A² − K_e ) / K_A = 2 ( K_A − K_e / K_A )
  • pour cette concentration pH = pK_A

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