Expérimentation numérique des suites
Avec les quelques instructions que nous avons apprises, nous pouvons commencer à faire de l'expérimentation en Mathématiques.
Premier cours : "Les suites numériques"
Nous allons utiliser la définition par récurrence et nous pourrons contrôler son égalité avec la définition explicite.
On va vérifier que la suite récurrente : (n0,u0), un+1 = q un + r
donne les mêmes résultats que la suite explicite : un = qn−n0 (u0 − L) + L avec L = r / (1−q)
Le calcul d'une suite définie par récurrence se fait en 5 parties
Pour une suite "Arithmético-géométrique" :
un+1 = q un + r
- 1) Lire les 5 données définissant la suite :
les raisons q et r ; le départ de la suite (n0,u0) ; le nombre niter d'itérations souhaitées
- 2) initialiser (n,u) avec (n0,u0) (exemple d'initialisation : n=5 et u=u5)
- 3) faire une boucle pour n allant de (n0 + 1) à (n0 + niter).
on fera niter itérations : [ n0+1, n0+2, ... , n0+niter ]
- 4) Dans la boucle (incrémentée de 4 espaces), on met "n" et "u" à jour
pour la mise au point, on imprime : n et u, avant/après la mise à jour
n = n + 1
u = q * u + r
- 5) après de la boucle, on imprime le résultat u pour n
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Conseils :
- 1) toujours garder (n, u) ensembles : à l'initialisation, la mise à jour, l'impression
car ils ne signifient rien l'un sans l'autre.
- 2) ne jamais mettre de lettres accentuées dans les noms des variables ni dans le contenu des variables.
Cela donne : SyntaxError: invalid string (possibly contains a unicode character)
Les lettres accentuées sont acceptées uniquement dans les commentaires et les chaînes de caractères
En entrant les valeurs q = 2, r = 3, n0 = 4, u0 = 5, niter = 6, on obtient le résultat suivant :
donnees : (q, r, n0, u0, niter) = 2, 3, 4, 5, 6
u( 4 ) = 5.0
u( 10 ) = 509.0
si vous ne trouvez pas : la solution est dans le chapitre suivant
Maintenant, on peut ajouter la définition explicite :
Limite possible : L = r / (1 − q)
Définition par récurrence :
un+1 = q un + r
Limite possible (pour n infini) : u∞+1 = u∞ = L
L = q L + r
Par soustraction, on obtient la Suite Géométrique :
(un+1 − L) = q (un − L)
Suite géométrique, avec la formulation explicite :
(un − L) = qn−n0 (u0 − L)
Suite arithmético-géométrique, formulation explicite :
un = qn−n0 (u0 − L) + L
si vous ne trouvez pas : la solution est dans le chapitre suivant
Second cours : suites du type Fibonacci : un+2 = a un+1 + b un
définition de la suite : les 2 premières valeurs(u0, u1)
Soient (x1, x2) les solutions distinctes de l'équation : x2 = a x + b
On a alors : xn+2 = a xn+1 + b xn
Soit : x1n+2 = a x1n+1 + b x1n
et : x2n+2 = a x2n+1 + b x2n
par combinaison : (A x1n+2 + B x2n+2) =
a (A x1n+1 + B x2n+1) +
b (A x1n + B x2n)
La formulation explicite de la suite est : un = A x1n + B x2n
Les coefficients A et B sont déterminéspar les 2 conditions de départ : (u0, u1)
u0 = A + B
u1 = A x1 + B x2
D'où les coefficients A et B :
A = (u1 − u0 x2) / (x1 − x2)
B = (u1 − u0 x1) / (x2 − x1)
Cas où l'équation x2 = a x + b a une solution double :
un=(A n + B) x0n
on peut trouver cette formule à partir de celle avec 2 racines en posant x1 = x0+α
et x2 = x0−α
en développant (x0+α)n = (x0)n + n α (x0)n−1
avec α → 0
on obtient : un = (A+B) x0n + (A−B) n α x0n−1
= [ (A+B) + (A−B) α/x0 n ] x0n
(A+B) → u0 et α (A−B) / x0 → (u1/x0 − u0)
détermination des coefficients A et B :
u0 = B
u1 =(A + B) x0
B = u0
A = u1 / x0 − u0
Troisième cours : suites un+1 = f(un)
Nous allons représenter graphiquement le cheminement de la suite :
Après avoir tracé la courbe f(x) et la première bissectrice,
Nous partons du point de l'axe Ox : (u0, 0) et nous montons juqu'à la courbe f(x) :
point (u0, u1)
Ensuite, nous allons horizontalement jusqu'à la bissectrice : point (u1, u1)
Ce point nous donne la nouvelle valeur u1 de laquelle il faut partir pour l'itération suivante...
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