relativité restreinte (Einstein 1905)

• Changement de repère en mouvement rectiligne uniforme ( repère Galiléen = déplacement à vitesse constante )
  • Tous les temps et longueurs seront mesurés avec des horloges de lumière.
  • Le repère mobile (ou propre) R' se déplace à la vitesse v (par rapport au repère fixe R)
  • Tout est estimé par rapport au repère fixe R (sauf indication contraire).
• notation : α² + v² = c² = 1     (avec c = 1. Pour remettre les c : remplacer v → v/c et t → ct)
  • α = √1 − (v/c)²  = √1 − v² 
  • v = √1 − α² 

  La perpendiculaire au mouvement ne se contracte pas : L⊥ = L     ( L = unité de longueur et de temps ) elle sert à mesurer le temps. Horloge mobile vue de son repère propre : Δt0 cΔt0 = Δt0 = L   (avec Δx0 = 0) Horloge mobile vue du repère fixe : Δt⊥ (cΔt⊥)2 = L2 + (vΔt⊥)2 (cΔt⊥)2 = L2 / ( 1 − v2/c2 ) = L2 / α2 cΔt⊥ = L / α Δt⊥ = Δt0 / α     (remarque : Δt⊥ > Δt0 ) (avec Δx = v Δt⊥ qui suit l'horloge) L'observateur fixe constate que l'horloge en mouvement Δt⊥ est ralentie.

• La mesure du temps entre les évènements A et B en coordonnées (x,t) pour chacun des 2 repères R' et R :
  A = (0, 0)_R' = (0, 0)_R   et   B = (x'=0, t'=T)_R' = (x=vT/α, t=T/α)_R
• Le ralentissement de l'horloge en mouvement est "évident" pour l'observateur fixe,
  puisque la lumière a davantage de trajet à parcourir.
• Mais Attention ! l'observateur mobile qui observe l'horloge fixe, la voit aussi battre au ralenti !
  Ceci est possible car les 2 mesures de temps ne sont pas comparables :
  Δx = v Δt/α pour l'une et Δx' = − v Δt'/α pour l'autre
• Expérience de Michelson et Morley (pour mesurer la vitesse de la Terre)

  On compare le temps mis par un rayon lumineux pour faire l'aller-retour d'une règle perpendiculaire à la vitesse (axe Oy), celle règle mesure aussi le temps (axe Ot) d'une règle dans le sens de la vitesse (axe Ox) mesure de la longueur d'une règle : On envoie un rayon lumineux depuis l'origine, qui se réfléchit à l'extrêmité et revient à l'origine. La longueur est le temps mis divisé par 2.

  Règle u1 sur l'axe Ox' du repère mobile R' Règle mobile vue du repère fixe (selon t) trajet de l'origine de la règle : (0, 0) → p2(x2,t2) trajet de l'extrêmité de la règle : (L, 0) → p1(x1,t1) la lumière parcourt :   (0, 0) → p1(x1, t1) → p2(x2, t2) t1 = L / (c − v) t2 − t1 = L / (c + v) t2 = 2 c L / (c2 − v2) c t|| = c t2 / 2 = L / (1 − v2/c2 ) = L / α2 on attendait : t⊥ = L / (c α)   ≠   t|| = L / (c α2) décalage qui aurait permis de déterminer α, donc la vitesse v de la Terre. L'expérience donne : t⊥ = t|| = L|| / (c α2) Conclusion : L|| = α L (contraction de L|| mobile)

  • La longueur de la règle mobile est dilatée de 1/α²
    mais sa contraction de α ramène sa dilatation égale à celle du temps : 1/α
    ce qui permet à l'observateur mobile de retrouver la valeur de c.
  • Comment la contraction de la règle a-t-elle lieu ?
    • Une règle est formée de 2 observateurs A et B à 1 mètre de distance,
      chargés de maintenir la distance de 1 mètre malgré leur mouvement.
    • Au temps t=0, A et B se mettent tous les deux en mouvement à la vitesse v pensant maintenir leur distance de 1 mètre.
    • Pour vérifier leur distance, A envoie un rayon lumineux à B, qui lui revient :
      Il divise par 2 le temps de l'aller-retour de la lumière pour trouver la distance AB :
      Il trouve une distance de 1/α², comparée au temps de son horloge : distance = 1/α
      Il en conclut que la distance AB est trop grande d'un facteur 1/α
    • B fait le même constat
    • La Nature fait le même constat : la force qui maintient A et B à 1 mètre de distance
      va les rapprocher d'un facteur α afin que leur distance dans le repère mobile soit de 1 mètre.
    • La force (ou les observateurs chargés de maintenir la distance AB = 1 mètre)
      va réduire la distance AB en αAB afin de voir une distance de 1 mètre.
    • La distance AB apparaît alors contractée de α pour l'observateur fixe.
  • remarque 1 : Les extrêmités de la règle mesurées par l'observateur mobile (par définition au même temps pour lui)
    ne sont pas au même temps pour l'observateur fixe.
  • remarque 2 : De même, le temps mesuré par l'observateur mobile se fait au même endroit pour lui,
    mais à des positions différentes pour l'observateur fixe.
  • L'observateur mobile voit aussi l'horloge de l'observateur fixe ralentie et sa règle contractée.
    Donc personne ne peut savoir quel est l'observateur fixe ou même s'il y en a un.
• La relativité s'explique si toutes les interactions élémentaires se font à la vitesse de la lumière.
  En particulier la vitesse de la lumière est constante car on la compare toujours à elle-même.
  Ce qui est valable pour les horloges et règles de lumière (l'électromagnétisme) est également valable pour les autres interactions.
• Formules de Lorentz : changement de repère (avec c = 1)
  pour remettre les c : remplacer v → v/c   et   t → ct
  • Expérience de Michelson Morley, on attendait : t_⊥ = L / α   ≠   t_|| = L / α² (non relativiste)
  • Or d'après l'expérience : t_⊥ = t_||
    L'hypothèse t_|| = L / α² est fausse : t_|| = L_|| / α² = t_⊥ = L / α
    La longueur L est devenue L_|| = α L du fait de sa vitesse
    (contraction des longueurs dans la direction de v)
    d'où l'allongement des vecteurs de base (u1, v1) en fonction de la vitesse dans le diagramme de Minkowski.
  • position dans R : OM = x = vt + O'M' = vt + αx'   ⇒   x' = (x − vt) / α   (Lorentz 1)
  • Par raison de symétrie : Le repère mobile R' applique la même formule, avec la vitesse −v
    (car il ne doit pas savoir qui est fixe ou mobile)
  • x' = − v t' + α x   (Lorentz 1')   ⇒   x = (x' + vt') / α
  • (1)   ⇒   α x' − x = − vt
  • (1')   ⇒   α (− v t' + α x) − x = − vt
  • − α v t' + (α² − 1) x = − vt
  • α v t' + v² x = vt
  • α t' = t − vx   ⇒   t' = (t − vx) / α   (Lorentz 2)
  • par symétrie : t = (t' + vx') / α   (Lorentz 2')
• Dans le repère fixe, la règle est en mouvement et mesure α L
  Dans le repère mobile, la règle est au repos et mesure L (Longueur propre)
• Vu de tous les repères Galiléens,
  on constate que la propagation d'une particule se fait au détriment de son vieillissement τ :
  dx² + c² dτ ² = c² dt² avec (dx = v dt)
  vitesse d'Univers : u_t = dt/dτ ; u_x = dx/dτ ; u_y = dy/dτ ; u_z = dz/dτ
  sa "4-longueur" : u_t² − (u_x² + u_y² + u_z²) = 1
  la vitesse d'Univers ne peut que tourner vers l'espace (déplacement) ou vers le temps (repos)
• Pour une horloge Δt₀ : c² Δt₀² = c² Δt² − Δx² quel que soit le repère Galiléen (x,t)
  C'est un invariant qui mesure la "4-distance" entre 2 évènements séparés par ( Δt, Δx ) dans un repère
  et par ( Δt₀, Δx₀=0 ) dans le repère propre.

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