Bac ES exercice type probabilités

• énoncé : texte donnant les probabilités
  • on tire un objet au hasard dans l'univers E : on tire A dans 30% des cas
  • parmi les A, on tire un objet au hasard : B est obtenu dans 80 % des cas
  • parmi les A, on tire un objet au hasard : B est obtenu dans 20 % des cas
• 1) on demande des nombres donnés dans l'énoncé : P(A)=0,3 ; P_A(B)=0,8 ; P_A(B)=0,2
• 2) faire un arbre traduisant le problème :
  arbre : premier choix : A / A ,     suivi du deuxième choix : B / B

  E	P(A)=0,3	A	PA(B) = 0,8	A inter B
  			PA(B)	A inter B
  	P(A)	A	PA(B) = 0,2	A inter B
  			PA(B)	A inter B

• 3) compléter l'arbre : P(A) = 1 − P(A)

  E	P(A)=0,3	A	PA(B)=0,8	A inter B
  			PA(B)=0,2	A inter B
  	P(A)=0,7	A	PA(R)=0,2	A inter B
  			PA(B)=0,8	A inter B

  vérification : P(A) + P(A) = 1
• 4) Calculer les probabilités élémentaires A inter B .... : P(A inter B) = P(A) × P_A(B)
  • P(A inter B) = 0,3 × 0,8 = 0,24
  • P(A inter B) = 0,3 × 0,2 = 0,06
  • P(A inter B) = 0,7 × 0,2 = 0,14
  • P(A inter B) = 0,7 × 0,8 = 0,56
  • vérification : somme des 4 probabilités élémentaires = 0,24 + 0,06 + 0,14 + 0,56 = 1
• 5) calculer P(B) : P(B) = P(A inter B) + P(A inter B)
  • P(B) = 0,24 + 0,14 = 0,38
  • vérification : P(B) = 0,06 + 0,56 = 0,62
    P(B) + P(B) = 0,38 + 0,62 = 1
• 6) calculer P_B(A) : P_B(A) = P(A inter B) / P(B)
  • donner le résultat à 10⁻³ près
  • P_B(A) = 0,24 / 0,38 = 0,632
• 7) résumer tous les résultats dans un tableau à double entrée :

  	B	B
  A	P(A inter B) = 0,24	P(A inter B) = 0,06	P(A) = 0,3
  A	P(A inter B) = 0,14	P(A inter B) = 0,56	P(A) = 0,7
  	P(B) = 0,38	P(B) = 0,62	total = 1

• tirage de Bernouilli B(p) : X = 1 si succès : X = 0 si échec
  • P(X = 1) = p     ;     P(X = 0) = 1 − p
  • E(X) = p × 1 + (1 − p) × 0 = p
  • V(X) = p × (1 − E(X))² + (1 − p) × (0 − E(X))² = p (1 − p)
• Loi binômiale B(n,p) = n tirages de Bernouilli B(p) : X = nombre de succès
  • P(X = k) = (k parmi n) p^k (1 − p)^n−k
  • E(X) = n p
  • V(X) = n p (1 − p)
• Loi normale : N(μ, σ)
  • centrée autour de μ : P(X < μ) = 0,50
  • symétrique autour de μ : P(X < μ − A) = P(X > μ + A)
  • intervalle de confiance à 95 % : P(μ − 1,96 σ < X < μ + 1,96 σ) = 0,95
• On admet que la moyenne "f" d'un échantillon de n tirages de Bernouilli B(p) suit une loi normale N(μ, σ)
  si : n > 30   ;   n p > 5   ;   n (1 − p) > 5
  • E(f) = μ = p
  • V(f) = p (1 − p) / n = σ²
  • Critère de décision sur la valeur de p :
    si f est en dehors de l'intervalle de confiance à 95 % on rejette la valeur p pour le tirage de Bernouilli
    (avec un risque de 5 % d'avoir tort)

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