Bac ES 2014 Math Polynésie Exercice 4 Corrigé

• énoncé     voir Exercice 4
• Exercice 4 antibiotique : fonction g(t) = 4 t / (t² + 1)
• 1.a) variation de la fonction g(t) (par lecture graphique)

  t	0	1	10
  g(t)	0     ↗	2	↘     0,4

• 1.b) Concentration maximale sur [0 ; 10] :
  • sommet de la courbe
  • C_max = 2 mg/L
• 1.c) Intervalle de temps pendant lequel c > 1,2
  • partie de la courbe au-dessus de 1,2
  • c > 1,2 sur [1/3 ; 3] = 3 − 1/3 = 2,667 h = 2 h 40 min
• 2.a) Calcul de la dérivée de g(x) :
  • g(x) = u / v   avec u = 4t et v= t² + 1
  • g'(t) = ( u' v − u v') / v²
  • u' = 4   et   v' = 2 t
  • g'(t) = ( 4 (t² + 1) − 4t×2t ) / (t² + 1)²
  • g'(t) = ( 4 t² + 4 − 8 t² ) / (t² + 1)²
  • g'(t) = ( 4 − 4 t² ) / (t² + 1)²
  • g'(t) = 4 ( 1 − t² ) / (t² + 1)²
• 2.b) Concentration maximale => g'(t) = 0
  • g'(t) = 0 pour le numérateur nul : 1 − t² = 0
    t² = 1 => t = ±1
  • (1 − t) (1 + t) = 0 : t = 1 (seule solution dans [ 0 ; 10 ])
  • démontrons que g(1) est bien un maximum : g(t) croissant avant le maximum et décroissant après.

    t	0	1	10
    ( 1 − t2 )	+	0	−	( du signe de a=−1 en dehors des racines −1 et 1 )
    (t2 + 1)	+	+	+	( toujours du signe de a=1   Δ = −4 )
    g'(t)	+	0	−
    g(t)	↗	2	↘

• 3) Concentration moyenne sur [0 ; 10]
  • primitive de g(t) : G(t) = 2 ln(t² + 1)
  • remarque : G(t) = 2 ln(u) avec u = t² + 1   et u' = 2 t
    G'(t) = 2 u' / u = 2 (2t) / (t² + 1) = 4 t / (t² + 1) = g(t)
  • moyenne (Espérance) de g sur [a ; b] ; E(g) = ∫_a^b g(t) dt / (b − a)
  • ∫_a^b g(t) dt = G(b) − G(a)
  • E(g) = (1/10) ( G(10) − G(0) ) = 2 ln(101) / 10 = ln(101) / 5 = 0,9230241033682519
    valeur exacte : ln(101) / 5
    valeur approchée : 0,923
• 4) Temps utile : g(t) > CMI = 1,2
  • g(t) = 4 t / (t² + 1) > 1,2
    on multiplie les 2 membres par le dénominateur (car (t² + 1) ≠ 0 et > 0)
  •   ⇔   4 t > 1,2 t² + 1,2  
    on passe tous les termes dans le membre de gauche
  •   ⇔   1,2 t² − 4 t + 1,2 < 0
    on simplifie par 4 (facultatif) pour avoir des calculs plus simples
  •   ⇔   0,3 t² − t + 0,3 < 0
    un polynôme du second degré est du signe de a (coeff. de t²) à l'extérieur des racines
    donc du signe de (−a) entre les racines : ici polynôme négatif entre les racines
  • Δ = 1 − 4 × 0,09 = 1 − 0,36 = 0,64 = (0,8)²
  • racines : t = (1 ± 0,8) / 0,6 = { 0,2 / 0,6 ; 1,8 / 0,6 } = { 1/3 ; 3 }
    le polynôme est négatif entre les 2 racines
    ce qui est équivalent à : g(t) > 1,2 entre les 2 racines
    intervalle : Δt = 3 − 1/3 = 3h − (1/3)h = 3h − 20' = 2h40'
  • remarque : en général, pour résoudre une inéquation A > B, on la transforme en A − B > 0
    puis on factorise le membre de gauche pour étudier son signe.

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