Bac ES 2014 Math Polynésie Exercice 2 Corrigé

• Enoncé voir Exercice 2
• Exercice 2 : unité en x : i = 100 objets ; unité en y : j = 100 €
  Problème des unités :   x i = 100 x objets   et   y j = 100 y €

  	unités réelles	conversion	unités graphiques
  question	(€, objets)	→	(i=100 objets, j=100 €)
  			↓ C(x) ↓ C−1(y) ↓ r(x) ↓ B(x) ↓
  réponse	(€, objets)	←	(i=100 objets, j=100 €)

• A.1) Coût de 450 objets = C(4,50) = 240 × 100 € = 24000 €
  • conversion en x   :   x i = 450 objets = x × 100 objets => x = 4,5
  • y = C(x) = C(4,5) = 240
  • retour aux € : coût = y j = 240 × 100 € = 24000 €
• A.2) Nombre d'objets produits pour 60000 € = C⁻¹(600) = 6,5 × 100 objets = 650 objets
  • conversion en y   :   y j = 60000 € = y × 100 € => y = 600
  • x = C⁻¹(y) = C⁻¹(600) = 6,5
  • retour aux objets : production = x i = 6,5 × 100 objets = 650 objets
• A.3.a) coût marginal pour 450 objets = C'(4,5) = 0
  coût marginal pour 600 objets = C'(6) = 300 / 1 = 300 ×100€ / 1×100objets = 300 € / objet
  • C'(6) = Δy / Δx = 300
  • retour au réel : coût marginal = (Δy j) / (Δx i) = (Δy × 100 €) / (Δx × 100 objets) = 300 € / objet
• A.3.b) variation du coût marginal : variation de C'(x)
  • la dérivée C'(x) vaut 500∕6 pour x=0
  • elle décroît jusqu'au point d'inflexion en x=4,5 où elle vaut 0
  • puis remonte jusqu'à 1200/0,7 en x=7
  • le coût marginal n'est pas croissant sur [ 0 ; 7 ]
• B.1) prix de vente = 75 €/objet
  • recette en euros = r(x) j = r(x) × 100 €
  • nombre d'objets = x i = x × 100 objets
  • recette en euros = 75 €/objet × nombre d'objets
  • r(x) × 100 € = 75 €/objet × x × 100 objets = 7500 x €
  • en simplifiant par 100 € :
    r(x) = 75 x
  • pas facile d'être clair avec les unités (toujours garder i et j)
    toujours séparer les unités réelles (€, objet) des unités du graphique (100 €, 100 objets)
    ici, on a encore de la chance d'avoir 100 de chaque côté.
  • tracé de r(x) : elle passe par (0, 0) et (7, 75×7=525)
  • autre approche : 75 €/objet = 75 x (100 € / 100 objets) = 75 j / i = (Δy j) / (Δx i)
    r(x) = Δy / Δx = 75
• B.2.a) bénéfice maximal
  • B(x) = r(x) − C(x) que l'on souhaite maximal : B'(x) = 0 donc r'(x) − C'(x) = 0
  • r'(x) = 75 : on cherche la tangente à C(x) de pente 75 : C'(x) = r(x)
    elle est parallèle à la droite r(x)
    elle est en x=5,40 et r(x) − C(x) vaut alors 160 (Soit 540 objets B_max=16000 €)
• B.2.b)
  • bénéfice avec 500 objets B(5) = 120 soit un bénéfice de 12000 €
  • bénéfice avec 600 objets B(6) = 80 soit un bénéfice de 8000 €
  • bénéfice(500) > bénéfice(600) : le proposition est VRAIE

retour au menu : math TES