Calcul de dérivées

• Dérivation d'une formule complexe (dont on ne connaît pas la dérivée)
  exemple : f(x) = ( 2 x + 1 ) / ( 3 x + 4 )
  • Rechercher une formule dont on connaît la dérivée :
    Ici : f(x) = u(x) / v(x)     avec u(x) = ( 2 x + 1 )   et   v(x) = ( 3 x + 4 )
  • Dérivée : f '(x) = ( u' v − u v' ) / v²
  • Maintenant, le plus difficile est fait, le reste est automatique :
    Remplacement, Arrangement, Simplification
  • u' = 2     et     v' = 3
  • f '(x) = [ 2 ( 3 x + 4 ) − 3 ( 2 x + 1 ) ] / ( 3 x + 4 )²
  • f '(x) = [ 6 x + 8 − ( 6 x + 3 ) ] / ( 3 x + 4 )²
  • f '(x) = [ 6 x + 8 − 6 x − 3 ] / ( 3 x + 4 )²
  • f '(x) = 5 / ( 3 x + 4 )²
• Simplifier
  • Une équation : A = B
    • On effectue la même opération sur la totalité de chacun des 2 membres.
    • par addition/soustraction : A − a = B − a
    • par multiplication/division : A / a = B / a
  • Une fraction : A / B
    • On effectue la même multiplication/division sur la totalité des numérateur et dénominateur.
    • par multiplication/division : A / B = ( A / a ) / ( B / a )
    • ATTENTION : seulement une multiplication ou une division, surtout pas d'addition ou de soustraction
• Rappel des principales dérivées à connaître :
  • f(x) = a x + b −> f '(x) = a
  • f(x) = x² −> f '(x) = 2 x
  • f(x) = x³ −> f '(x) = 3 x²
  • f(x) = xⁿ −> f '(x) = n x^{n − 1}
  • f(x) = 1 / x −> f '(x) = − 1 / x²     ( on peut le retrouver avec f(x) = 1 / x = x⁻¹ )
  • f(x) = √x −> f '(x) = 1 / ( 2 √x )     ( on peut le retrouver avec f(x) = √x = x^1/2 )
  • Dans la suite, u et v sont des fonctions de x : u(x) et v(x) ; a est une constante
  • dérivée d'une somme : f(x) = u + v −> f '(x) = u' + v'
  • dérivée d'un produit : f(x) = u v −> f '(x) = u' v + u v'
  • cas particulier : f(x) = a u −> f '(x) = a u'
  • dérivée d'un quotient : f(x) = u v −> f '(x) = ( u' v − u v' ) / v²
  • f(x) = f(u(x)) −> f '(x) = f '(u) u'
    d'où : f(x) = uⁿ −> f '(x) = n u^{n − 1} u'

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