• explicitement : Exemple : u(n) = 2 n + 5 (comme on définirait la fonction f(x) = 2 x + 5)
• par récurrence (à partir d'une valeur précédente) :
  Exemple : on donne u(0)=5 , puis la relation de récurrence : u(n+1) = u(n) + 2 pour n ≥ 0
  • u(0) = 5
  • la relation de récurrence avec n = 0 devient u(1) = u(0) + 2 d'où u(1) = 5 + 2 = 7
  • la relation de récurrence avec n = 1 devient u(2) = u(1) + 2 d'où u(2) = 7 + 2 = 9
  • la relation de récurrence avec n = 2 devient u(3) = u(2) + 2 d'où u(2) = 9 + 2 = 11
  • ......

• u(n) = u_n
• pour une suite arithmétique u_n = u₀ + n r : avec r = raison
• définition explicite : u_n = f(n)
• définition par récurrence : u_n+1 = f(u_n) avec u₀ donné.

Démontrer qu'une suite est croissante

• sens de variation de la suite u_n = 100*0,2ⁿ ?
  Remarque : à chaque fois que l'on incrémente n (incrémenter = augmenter de 1) u_n est multipliée par 0,2 ( < 1 ) : elle diminue donc.
  Démonstration : u_n+1 - u_n = 100*0,2ⁿ⁺¹ - 100*0,2ⁿ = 100*0,2ⁿ*0,2 - 100*0,2ⁿ*1 = 100*0,2ⁿ*(0,2 - 1) = -0,8*100*0,2ⁿ = -80*0,2ⁿ < 0
  La suite u_n = 100*0,2ⁿ est décroissante.
  REMARQUE : quand on factorise, toujours vérifier que le développement de la formule obtenue redonne l'expression de départ.
  (tout le monde fait des erreurs, mais grâce à la vérification systématique, on retrouve les erreurs)
• sens de variation de la suite u_n = 1 / (2n+5) ?
  Remarque : quand n augmente, on divise par un nombre plus grand : u_n diminue donc.
  Démonstration : u_n+1 - u_n = 1 / (2(n+1)+5) - 1 / (2n+5) = [(2n+5) - (2(n+1)+5)] / [(2(n+1)+5)*(2n+5)]
  ... = [2n + 5 -2n -2 -5] / [(2n+2+5)*(2n+5)] = [-2] / [(2n+7)*(2n+5)] < 0
  La suite u_n = 1 / (2n+5) est décroissante.
  ATTENTION : quand on remplace n par (n+1) ne pas oublier de l'entourer de parenthèses !

suites arithmétiques

on donne le premier terme de la suite : u0 par exemple
 puis la relation de récurrence pour n > 0 :
  un+1 = un + r
on calcule les premiers termes :
  en remplaçant n par 0 on obtient u1   = u0 + r
  en remplaçant n par 1 on obtient u2   = u1 + r = u0 + 2 r
  en remplaçant n par 2 on obtient u3   = u2 + r = u0 + 3 r
  ...  =  ...
  en remplaçant n par n on obtient un   = un-1 + r = u0 + n r (formule explicite)
Comment reconnaître si une suite est arithmétique :
1) un+1 - un = r (avec r constant)
2) un = a + n r (avec a et r constants)
Si r > 0 : la suite est croissante, si r = 0 : la suite est constante, si r < 0 : la suite est décroissante.
Sa représentation graphique est une droite dont on ne garde que les points d'abscisse entière.

suites géométriques
on donne le premier terme de la suite : u0 par exemple
 puis la relation de récurrence pour n > 0 :
  un+1 = un + r
on calcule les premiers termes :
  u1   = u0 r
  u2   = u1 r = u0 r2
  u3   = u2 r = u0 r3
             ...  =  ...
  un   = un-1 r = u0 rn (formule explicite)