Pourcentages 1ère :   [répertoire]
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• Pourcentage :
  • notations : τ = taux = p % = p / 100     (exemple : taux = 15% = 15/100 = 0,15)
    exercice : exprimer les pourcentages suivants sous forme décimale : 20% = réponse     5% = réponse
    (on peut garder le 2^ème chiffre pour bien distinguer 3% = 0,03 de 30% = 0,30)
  • Le pourcentage de quelque chose est une multiplication
  • p % de x = x × p / 100
  • exemple : 15 % de 125 = 125 × 15 / 100 = 125 × 0,15 = 18,75
    exercice : calculer les pourcentages suivants de 1500 € : 20% = réponse     5% = réponse
• Problème de pourcentages
  • La surface de la France est 552000 km²,
    La surface du Japon est 68% de celle de la France     réponse
    Quelles sont les surfaces boisées des 2 pays ?
  • La superficie boisée du Japon est 62% du pays.     réponse
  • La superficie boisée de la France est 25% du pays.     réponse
• Ajouter un pourcentage "taux" à une "valeur initiale" :
  
  • Ce n'est pas une addition, mais une multiplication :
  • augmentation de 3% : x ----> (x + 3% de x) = x + (3/100)x = x + 0,03 x = (1 + 0,03) x = 1,03 x
  • diminution de 3% : x ----> (x − 3% de x) = x − (3/100)x = x − 0,03 x = (1 − 0,03) x = 0,97 x
  • une augmentation est traduite par un taux > 0 (exemple : taux = +22%)
    et un coefficient multiplicateur (1+taux) = réponse > 1
  • une diminution est traduite par un taux < 0 (exemple : taux = −15%)
    et un coefficient multiplicateur (1+taux) = réponse < 1
  • on applique une augmentation de "taux" à une valeur initiale V_initiale
    V_finale = V_initiale + taux × (V_initiale ) = V_initiale (1 + taux)
  • définition du taux d'accroissement : taux = (V_finale − V_initiale) / V_initiale
  • définition du coefficient multiplicateur : coef = 1 + taux
  • exemple : au prix P_HT, on ajoute une TVA normale au taux de 19,6% = 19,6/100 = 0,196
                        P_HT = 135 € => P_TTC = coef × P_HT = réponse
• Exemples : P_TTC = P_HT (1 + taux) :
  

  2 données	inconnue	résultat	erreur à éviter
  PHT, taux	PTTC	PTTC = PHT (1 + taux)
  PTTC, taux	PHT	PHT = PTTC / (1 + taux)	et non : PTTC (1 − taux)
  PHT, PTTC	taux	taux = (PTTC − PHT) / PHT

• augmenter de a% puis de b % :
  • x → y = x + a x/100   soit :   y = x ( 1 + a/100 )
    y → z = y + b y/100   soit :   z = y ( 1 + b/100 ) = x ( 1 + a/100 ) ( 1 + b/100 )
    Soit x → z = x (1+a/100)×(1+b/100) = x (1 +(a+b)/100 + ab/10000)
  • si a et b sont petits devant 100 ( < 5 ) on peut négliger ab/10000
  • de même si b est négatif : ajouter 10 % puis retirer 10 %
    a = 10 % et b = −10 %
    x → x (1 + a) (1 + b) = x (1 + 10/100) (1 − 10/100) = x (1 − 100/10000) = 0,99 x
  • autre exemple : ajouter 100 % puis retirer 100 %
    ajouter 100% revient à multiplier par (1+1) = 2 (doubler)
    retirer 100% revient à multiplier par (1−1) = 0 (supprimer)
• quelle réduction annule une première augmentation ?
  • ATTENTION : une diminution de 3 % n'annule pas une augmentation de 3% !
    en effet : 100 ----(+3%)----> 1,03 × 100 ----(−3%)----> 103 × 0,97 = 99,91 ≠ 100
    le "−3%" retire davantage que le "+3%" car il part de plus haut : (1+τ) au lieu de 1
  • après une augmentation de 100 % (multiplication par 2), pour revenir à la valeur initiale,
    il faut retirer 50% : multiplier par (1−0,5) = 0,5   soit diviser par 2
  • plus généralement : 1 ----(+τ%)----> (1+τ) ----(−τ%)----> (1−τ)(1+τ) = 1 − τ² ≠ 1
  • pour annuler une augmentation de τ% qui équivaut à multiplier par (1+τ),
    il faut multiplier par 1 / (1+τ)   soit : diviser par (1+τ)
    quand τ est très petit, 1/(1+τ) ≈ (1−τ) car τ² est négligeable et (1−τ)(1+τ) ≈ 1

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