Les nombres entiers relatifs

• Les nombres entiers relatifs : ℤ.
  Ils sont définis par l'addition :
  un entier relatif est un entier naturel précédé d'un signe + ou −
  1. Afin de résoudre l'équation a + x = b quels que soient a et b, il faut pouvoir résoudre a + a' = 0
  2. On note l'opposé a' de a : a' = −a
  3. La soustraction est l'addition de l'opposé : b + (−a) = b − a
     a + (−a) = a − a = 0
  4. D'où la solution de "a + x = b" : x = b + (−a) = b − a
• Noter le double emploi du signe − : opérateur de soustraction ou définition de l'opposé d'un nombre.
   
• Pour résoudre l'équation x + a = b : on ajoute l'opposé (−a) de a à chaque membre de l'équation.

  x	+ a	= b
  x	+ a + (−a)	= b + (−a)
  x	+ 0	= b − a
  x		= b − a

  "+ a" est passé de l'autre côté du signe "=" en changeant de signe : il est devenu "− a"
   
• Produit de 2 entiers relatifs :
  Si le nombre est porté sur l'axe Ox, la multiplication par −1 revient à prendre son symétrique par rapport à O : (+ 5) × (−1) = −5
  Si l'on multiplie de nouveau par −1 : (−5) × (−1) = (+5) = 5   (le signe + n'a pas besoin d'être écrit)
  La première symétrie fait passer le nombre de l'autre côté de 0, la seconde le ramène à sa valeur initiale.
  Donc 2 produits par −1 se neutralisent : (−1) × (−1) = 1

  5 × 3 = 15	(−5) × 3 = −15
  5 × (−3) = −15	(−5) × (−3) = 15

   
• propriétés :
  somme : (a − b) + (c − d) = (a+c) − (b+d)
  produit : (a − b) × (c − d) = (ac + bd) − (ad + bc)

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